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一、计算题

1． 一个保险公司有10000个汽车投保人, 每个投保人平均索赔280元, 标准差为800元. 求总索赔额超过2700000元的概率.

【答案】记

为第i 个投保人的索赔额,

. 则

. 由林

德伯格-莱维中心极限定理, 所求概率为

2． 在下列密度函数下分别寻求容量为n 的样本中位数

（1）（2）（3）（4）称, 所以

关于0.5对

=0.5, 于是样本中位数

的渐近分布为

所以

的渐近分布为, 所以相应的中位数为

所以

的渐近分

的渐近分布.

【答案】（1）先求出总体的中位数. 该分布是贝塔分布Be （2, 2）, 可以看出（2）正态分布

的中位数为

（3）该分布的密度函数为布为

（4）该分布的密度函数关于y 轴对称, 故相应的中位数为0, 所以

3． 设离散总体的分布列为

现进行不返回抽样, 函数）.

【答案】由于N 有限, 抽样是不返回的, 所以样本

中诸的分布列与总体的分布列相

同, 但诸间不相互独立, 即此样本不是简单随机样本. 以下我们先求诸Xi 的期望、方差与协方差:

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的渐近分布为

为样本, 为样本均值, 求与（表示成N 的

其中

代回原协方差表达式, 可得

由此可得样本均值的期望与方差

4． —个质点从平面上某点开始，等可能地向上、下、左、右四个方向随机游动，每次游动的距离为1，求经过2n 次游动后，质点回到出发点的概率.

【答案】因为每次都等可能地向上、下、左、右四个方向随机游动，所以经过2n 次游动后，样本空间中共有

设所求事件为

样本点共有本点总数

它为

由此得所求概率为

可算得：

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个样本点.

事件

发生要求（1）上下游动次数相等；（2）左右游动次数相等，否则不

个，当k 从0到n 累加起来就得事件

所含样

可能回到出发点，若上、下游动各k 次，那么左、右游动只能各n-k 次，这样共游动2n 次，此种

5． 某仪器装了3个独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：h ）都服从同一指数分布，密度函数为

试求：此仪器在最初使用的200h 内，至少有一个此种电子元件损坏的概率. 【答案】设Y 为仪器在最初使用的200h 内，损坏的元件个数，则

所以至少有一个电子元件损坏的概率为

6． 在一个有n 个人参加的晚会上, 每个人带了一件礼物, 且假定各人带的礼物都不相同. 晚会期间各人从放在一起的n 件礼物中随机抽取一件, 试求抽中自己礼品的人数X 的均值和方差.

【答案】记

则由此得

又因为但因为

间不独立, 所以

为计算所以

因此

由此得

7． 下面是亚洲十个国家1996年的每1000个新生儿中的死亡数（按从小到大的次序排列）：

日本 以色列 韩国 斯里兰卡 中国 叙利亚 伊朗 印度 盂加拉国 巴基斯坦

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其中

是同分布的, 但不独立. 其共同分布为

所以

先给出的分布列, 注意到的可能取值为0, 1. 且