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一、证明题

1． 已知

证明:

则

内严格单调递增.

因此

则

所以又

在

内严格单调递增.

此即

2． 设a , b , A是均不为零的有限数, 证明

【答案】因为

当

时

先证必要性. 由所以

（当

且

再证充分性. 因为

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此即

【答案】令所以又再令

在

的充分必要条件是

:

故

时）,

故

因此有

所以

3． 证明:若函数列

在[a, b]上满足定理的条件, 则

设由

为

的收敛点, 则对任意的满足定理的条件可知

故从而

由为

的收敛点可知, 对任意

存在N 1, 使得当存在N 2, 使得当

从而当所以

时,

有

在[a, b]上一致收敛.

时, 总有时, 对任意

有

在[a, b]上一致收敛于g （t ）, 故对上述的

有

在[a, b]上一致收敛.

一致收敛, 不妨

设

【答案】由题

设连续

且

4． 证明施瓦茨不等式:若f （x ）和g （x ）在[a, b]上可积, 则

【答案】

, 因为

所以

若

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. 即

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f x ）=0, 等式成立; 若则（即

故

5． 设

【答案】由上确界定义, 对

证明:存在

使

使

又由

由迫敛性得

6

．

设f （X ）在I

上可微,

且对x>l满足

证明:【答案】记

. ,

则

因此若

在一个点列

存在广义极限, 记为L. , 对g （x ）在

. , 则

, 使得

另一方面, 由令

可得

这显然与刚才的结论矛盾, 所以

. 证明

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, 上式是关于t 的二次三项式, 且非负, 于是有判别式,

成立

上应用拉格朗日中值定理,

存在

. 这表明在

使得

上存

,

7． 设f 在[a, b]上连续,

【答案】因为