2018年哈尔滨理工大学应用科学学院612数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 设f 为二阶可导函数, 求下列各函数的二阶导数:
【答案】 （1）
,
（2）
（3）
2． 计算第二型曲线积分:
其中A （1, 1）, B （2, 4）分为两种情况: （1）（2）
为连接A , B 的直线段;
2
为抛物线:y=x.
【答案】（1）直线段的方程为y=3x-2, 所以
（2） 3． 计算
:
其中
为
.
中z ≥0的部分.
【答案】化简并利用高斯公式得
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4． 设球体.
上各点的密度等于该点到坐标原点的距离, 求这球体的质量.
【答案】根据题意所求球体的质量为
应用球坐标变换
于是
应用
5．
求函数它们的模.
【答案】
6． 试讨论方程组
在点（1, ﹣1, 2）的附近能否确定形如x=f（x ）, y=g（z ）的隐函数组？ 【答案】令
①F , G
在点（1, ﹣1, 2）的某邻域内连续； ②F
（1, ﹣1, 2）=0, G （1, ﹣1, 2）=0; ③④
均在点（1, ﹣1, 2）的邻域内连续；
则
在点A=（0, 0, 0）及点
处的梯度以及
故由隐函数组定理知, 在点（1, ﹣1, 2）的附近所给方程组能确定形如x=f（z ）, y=g（z ）的
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隐函数组.
二、证明题
7． 证明:若f 在[a, b]上连续, 且
, 又若
【答案】假设对任意的
, 使与
均有
, 则在（a , b ）上至少存在两点
, 这时f 在（a , b ）上是否至少有三个零点？
f x ）, 则由连续函数根的存在定理知, （在（a , b ）或
, 这与
矛盾. 故至, 使
内恒正或恒负. 于是,
根据积分不等式性质有
少存在一点
且f （x ）在
假设f （x ）在（a , b ）内只有一个零点则
每个区间内不变号（根据连续函数根的存在定理）. 故有
在两边也异号. 所以
在两边同号,
但
由此知f （x ）在两边异号. 又函数
即g （x ）在（a , b ）内除一个零点外恒正或恒负, 从而由g （x ）的连续性可得
矛盾. 故在（a , b ）内至少存在两点, 在（a , b ）内至少存在三个零点
假设在（a , b ）内只两点
,
, 使得
, 则
即
, 且f （x
）在
, 使得
下证若
则f （x ）
每个区间内不变号. 从而由
推广的积分第一中值定理, 结合上式, 得
即
, 其中
, 所以由上式知,
f x ）从而知（在在
. 考虑函数内符号分别为正、负、正（其他情况证明类似）
内的符号分别为正、负、正, 故h （x ）在
但
矛盾. 可见在（a , b ）内至少有三个点
使得
正. 又h （x ）是连续函数, 所以
. 因为
与由于
每个区间内恒异号,
f x ）f x ）两边异号, 同理可证（在两边也异号, 设（在区间
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