2018年哈尔滨工业大学威海校区612数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． f （x
）在
. 上有连续二阶导数，且
，令
证明：
收敛.
【答案】由题设，对n=1, 2，…，有
由
在
上有连续二阶导数，知. 于是，
利用比较判别法，由子
2． 设函数f 在区间I 上连续, 证明:
（1）若对任何有理数
有f （r ） =0, 则在I 上f （x ） =0;
有. 又因为
则f 在I 上严格增.
使.
当并且）,
, 所以
（2）若对任意两个有理数
由f 的连续性得
（2
）设有两个实数由使得当
可知
,
时,
收敛，则级数
收敛.
sinnx :在
上绝对可积，即存在M>0,
使得
【答案】（1）设x 0为中的任一无理数, 由有理数的稠密性知,
存在有理数列
为有理数时, f （r ）也为0, 于是, 在I 上f （x ）=0.
, 由有理数的稠密性知, 存在有理数r 1, r 2使得
,
两点连续.
,
存在
, 从而
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因为f （x ）在I 上连续, 所以f （x ）在
.
对于正数
（设；
而当
, 满足
时
, ,
从而
. 再由
.
存在有理数
知,
和
故f 在I 上严格递增. 3． 设上单调不减.
【答案】为了叙述方便, 引入一个算子D , 满足:
易知, 若设函数答:选取m
满足由由
的连续性知A 非空, 取
的定义知, 当
时,
成立, 那么
在, 对, 这与
上单调不减. 丨在
在
上非单调不减, 则存在<上应用引理, 知存在,
矛盾, 所以则得.
在
上单调不减.
在
上单调不减.
, 即证得
,
可导, 则
满足
则存在
考虑如下集合
则
使得
且对任何
都有
, 求证:f （x ）在（a , b ）
先证明一个十分有用的引理:
又由点集A 的定义知上确界是极限点, 因此存在令
则
及且
当n 充分大时, 有作由条件知可以验证满足使得对任意 4． 设
【答案】因
为
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由下极限的最小值性, 不难推出
用反证法, 假若
，证明：当时，有收敛，且有界
，
.
单调递减
且
•由题设条件
知
由Dirichlet 判别法可判断
，利用Abel 引理，由于
收敛，即得，则
收敛.
令
5．
利用
【答案】因为
为递增数列的结论, 证明
为递增数列, 所以
即
从而
所以数列
是递增数列.
其中n 为曲线L 的外法线
为递增数列.
取极限得
，结论得证.
6． 证明:若L 为平面上封闭曲线, l 为任意方向向量, 则方向.
【答案】令（n , x ）, （l , n
）,
（l , x ）分别表示外法线与x 轴正向, l 与外法线n 以及
l 与x 轴正向的夹角, 则有:
由于
与
为常数, 且
7． 证明施瓦茨不等式:若f （x ）和
g （x ）在[a, b]上可积, 则
【答案】
, 因为
所以
若
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页
则由格林公式
. 即