2017年厦门大学数学科学学院825高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
【答案】D 【解析】 2． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
所以A 的特征值为3，3，0；而
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
3． 设A 是矩阵，为一非齐次线性方程组，则必有（ ）.
A. 如果B. 如果秩
则则
. 有非零解
有非零解
有惟一解 只有零解
有零解. 则3条直线
（其中
）交于一点的充要条件是（ ）.
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则线性方程组（ ）•
则A 与B （ ）.
C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】
4． 设
秩
未知量个数，
【答案】D 【解析】令其中
则方程组①可改写为
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
方程组①有惟一解
由秩A=2, 可知可由线性表出.
5． 齐次线性方程组
可知线性相关，即可由线性表出，
从而
线性相关，故选D.
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵
【答案】C 【解析】若当C.
时，
由AB=0, 用
右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.
由AB=0，左乘
可得
矛盾，从而否定A ，故选
使AB=0, 则（ ）
.
二、分析计算题
6． 求多项式f （x ），使得
，h （X ），使得
【答案】由整除的定义知存在多项式g （x ）
由（1-16）知
是
的根，分别代入（1-17）, 得
取故
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由（1-17）, 得
为所求.
7． 证明：以下两个变换都是的线性变换：
再求T+S, TS与ST.
【答案】T , S都是的变换显然. 再由于
故T 是又
8． 设f （x ）, g （x ）都是P （x ）中的非零多项式，且
证明:不存
在使
【答案】用反证法，若存在
使①式成立，则用g （x ）乘①式两端，得
由②式有
但
9． 已知齐次线性方程组
和
同解，求
的值.
，所以
，这与
。
矛盾。
，这里m ≥1,
若
，
且
的一个线性变换.
的一个线性变换.
同理可验证S 也是
【答案】齐次方程组（II ）的未知量个数大于方程的个数，故方程组（II ）有无穷多个解. 因为方程组（I ）与（II ） 同解，所以方程组（I ）的系数矩阵的秩小于3.
对方程组（I ）的系数矩阵施以初等行变换，有
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