2016年武汉大学物理科学与技术学院高等数学(理学)(同等学力加试)考研复试题库
● 摘要
一、计算题
1． 求锥面
【答案】在
与柱面
所围立体在三个坐标面上的投影.
，即
，故立体在
中消去z ，得
xOy 面上的投影为
而该立体在zOx 面上的投
影为
（如图所示）.
，在yOz 面上的投
影为
（如图所示）
.
图
2． 抛物面最大值与最小值。
【答案】设椭圆上的点为
，则椭圆上的点到原点的距离平方为
满足条件：
作拉格郎日函数
令
。
被平面
截成一椭圆，求这椭球上的点到原点的距离的
，得
式（9-4）-（9-5）
故有由将解得
于是得到两个可能的极值点
由题意可知这种距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值和最小值分别在这两点处取得。而
故最大值与最小值分别为
3． 求圆盘
绕
，，
旋转所成旋转体的体积。
，，
，，
围城的图形绕围城的图形绕
旋转所得旋旋转所得
代入或
。
，不合题意，故舍去。 和
，得
【答案】记由曲线转体的体积为V 1，由曲线
旋转体的体积为V 2，则所求体积为
4． 己知某曲线经过点（l ，l ），它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程.
【答案】设（x ，y ）为曲线上的点，则曲线在该点处的切线方程为轴上的截距为
将上述方程与成
并依题意，有
可解得
切线在纵
5． 已知f （x ）是周期为5的连续函数，它在x=0的某个邻域内满足关系
式
，且f （x ）在x=1处可导，求曲线y=f（x ）在点（6, f （6））
处的切线方程。
【答案】由f （x ）连续，令关系式两端x →0，取极限得又而
故由于
于是
，即（6, 0）处的切线方程为因此，曲线y=f（x ）在点（6, f （6））即
6． 把对坐标的曲线积分
2
化成对弧长的曲线积分，其中L 为:
（1）在xOy 面内沿直线从点（0，0）到点（l ，l ）; （2）沿抛物线y=x，从点（0，o ）到点（1，l ）; （3）沿上半圆周
从点（0，0）到点（l ，l ）。
【答案】（l ）L 为从点（0，0）到（1，l ）的有向线段，其上任一点处的切向量的方向余弦满
足
于是
（2）L 由如下的参数方程给出：
，其方向余弦为
于是
x 由小到大地从0变到1，故L
的切向量为
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