2016年武汉大学基础医学院、第一临床学院、高等研究院高等数学(同等学力加试)考研复试题库
● 摘要
一、计算题
1． 从斜边之长为的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形。
【答案】设直角三角形的两直角边之长分别为求周长S 在作拉格朗日函数
令
条件下的条件极值。
则周长
解得。代入，得，于是是唯一可能的一切直
的极值点，根据问题性质可知这种最大周长的直角三角形一定存在，所以在斜边之长角三角形中，周长最大的是等腰直角三角形。
2． 含有未知函数的导数的方程称为微分方程, 例如方程为已知函数。如果函数
, 其中
f x ）为未知函数的导数, （
就称为这
代入微分方程, 使微分方程成为恒等式, 那么函数
个微分方程的解。求下列微分方程满足所给条件
【答案】由
, 得
, 于是所求的解为
由由
, 得, 得
故
, 于是所求的解为
3． 用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性:
【答案】（1）解法一：后的级数
解法二：因（2）（3）因
而
也发散，由比较审敛法知原级数
而
由于级数发散。
发散，故各项乘
发散，故由极限形式的比较审敛法知原级数发散。
而
发散，由比较审敛法知原级数发散。 收敛，由极限形式的比较审敛法知原级数发散。
（4）因
收敛。
（5）
当
而
4．
设
，其
中，
其中
何意义说明柱体位于
与
之间的关系。 时
，
而收敛，故由极限形式的比较审敛法知原级数
，一般项不趋于零，
故
收敛。
发散，当a>1时
，
收敛，故由比较审敛法知
；
又
。试利用二重积分的几
【答案】解法一:由二重积分的几何意义知，表示底为的体积;
表示底为
、顶为曲面
:
。由此可知
、顶为曲面:的曲顶柱体
的曲顶
的体积（图）. 由于
分成四个
上方的曲面:
关于yoz 面和zox 面均对称，故yoz 面和zox 面将
等积的部分，其中位于第一卦限的部分即为
图
解法二:
设
关于x 是偶函数，故
又由于
关于X 轴对称，被积函数
关于y 是偶函数，故
从而得
5． 由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力F （单位:N ）与伸长量:（单位:cm ）成正比，即F=ks（k 是比例常数）. 如果把弹簧由原长拉伸6 cm，计算所作的功.
【答案】 6． 设
（1）（2）（3）（4）
不存在 不存在
，当n=1时，
，
故对任意
均为非负数列，且
下列陈述中哪些是对的，那些是错的? 如果是对的，说明理由；如果是错的，试给出一个反例。
。由
于
关于y 轴对称，被积
函数
【答案】（1）错，例如
不成立。
（2）错，例如
，当n 为奇数时
不成立。
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