2018年五邑大学经济管理学院811概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、计算题
1． 假设
（1）A ，B 不相容； （2）A ，B 独立; （3）
得
【答案】由加法公式及其变形可知: （1）因为A ，B 不相容，所以（2）因为A , B 独立，所以由
（3）因为
所以
，由此得
在以下情况下求P （B ）:
2． 一个小学校长在报纸上看到这样的报道:“这一城市的小学学生平均每周看8h 电视. ”她认为她所在学校的学生看电视的时间明显小于该数字. 为此她在该校随机调查了100个学生，得知平均每周看电视的时
间
？
【答案】由于本题中样本量较大，可认为样本均值服从正态分布，依题意，需要建立的原假设和备择假设为
若取
，则
, 拒绝域
，由样本观测值计算得:
因而拒绝原假设，认为这位校长的看法是对的.
3． 设X 和Y 是相互独立的随机变量，且
求Z 的分布列.
【答案】因为X ，Y 相互独立，所以其联合密度函数为
由此得
, 样本标准差为s=2h.问是否可以认为这位校长的看法是对
的
，如果定义随机变量Z
如下
4． 设是来自Rayleigh 分布的一个样本，Rayleigh 分布的密度函数为
（1）求此分布的充分统计量；
（2）利用充分统计量在给定显著性水平下给出如下检验问题
的拒绝域；
（3）在样本量较大时，利用中心极限定理给出近似拒绝域. 【答案】 （1）样本的联合密度函数为
由因子分解定理知，的充分统计量是:（2）注意到
由此可见故对
是
的无偏估计. 当
的拒绝域为
其中c 由概率等式可以证明，当由此可得在原假设由等式
时，，或者
成立下，有
可得
记
是
分布的
分位数，可得
譬如，当n=15，即当检验统计量
时，
所以
c=21.887.
时，将拒绝原假设
.
确定. 为了确定c ，需要充分统计量
，
利用分布的分位数可确定临界值C.
的分布.
较大时，拒绝原假设
是合理的.
.
（3）由可知，从而有
在原假设成立下，有
这里可看作n 个相互独立同分布随机变量之和，
, 从而有
故由中心极限定理知
故由等式则有
可得，记为标准正态分布的分位数，
即
若
查表得
从而
这个结果与（2）定出的精确值较为接近.
5． 一地质学家为研究密歇根湖的湖滩地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品有10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数. 假设这100次观察相互独立，求这地区石子中石灰石的比例P 的最大似然估计. 该地质学家所得的数据如下表:
表
【答案】本题中，总体X 为样品中石灰石的个数，且X 服从参数为即
则其似然函数为（忽略常数）
对数似然函数为
将对数似然函数关于P 求导并令其为0得到似然方程
为样本，
的二项分布，
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