2018年天津医科大学应用统计(专业学位)432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1．
设明:
由又因为故有
所以由马尔可夫大数定律知 2． 设和方差,
（2）当
【答案】 （1）由由于X 的概率密度为
所以
由此证得
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为独立同分布的随机变量序列，方差存在.
又设服从大数定律.
否则令
因为
并讨论
为绝对收敛级数.
令即可.
证
【答案】不妨设
知
为绝对收敛级数，可记
服从大数定律.
分别为样本的均值
也相互独立,
所以
是来自总体x 的简单随机样本,
, 证明:
时,
相互独立知,
（1）当X 服从数学期望为0的指数分布时,
（2）由
由于
与相互独立知,
, 所以
与也相互独立, 从而
①此外, 由
知从而将①, ②代入
可得
① ②
从而得到目的最大似然估计量为
3． 设连续随机变量X 的密度函数P （x ）关于c 点是对称的，
证明：其分布函数F （X ）
有
【答案】由p （X ）关于C 点是对称的，知
由
对上式右端积分作变量变换再对上式右端积分作变量变换结论得证.
对称分布函数的这个性质可用图1表示:
，则
，则
图1
4． 设X 为非负随机变量，a>0.
若
【答案】因为当a>0时
，
存在，证明:对任意的x>0,
有
是非负不减函数，所以由上题即可得结论.
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5． 设是来自两参数指数分布
是充分统计量.
的样本，证明
【答案】由已知，样本联合密度函数为
令
由因子分解定理，
的充分统计量•
6． 设X 为仅取正整数的随机变量，若其方差存在，证明:
【答案】由于其中
代回原式即得证.
7． 设
证明:
为独立的随机变量序列，且
服从大数定律.
所以由
由马尔可夫大数定律知
8． 设随机变量
服从大数定律.
且X 与Y 相互独立，令
试证明: （1）（2）（3）【答案】（1）
（2）由（1）知，
所以
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存在，所以级数绝对收敛，从而有
【答案】因为的独立性可得