2018年武汉轻工大学动物科学与营养工程学院314数学(农)之概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、计算题
1． 设随机变量X 服从参数为大为多少？
【答案】由题设条件从而查表得
，或
，得
，这表明矿最大为24.32.
和的正态分布，若要求
，允许
最
2． 从甲地飞往乙地的航班，每天上午10:10起飞，飞行时间X 服从均值是4h ，标准差是20min 的正态分布.
（1）该机在下午2:30以后到达乙地的概率是多少？ （2）该机在下午2:20以前到达乙地的概率是多少？ （3）该机在下午1:50至2:30之间到达乙地的概率是多少？ 【答案】设时间单位为min , 则（1）所求概率为
（2）所求概率为
（3）所求概率为
3． 有一批建筑房屋用的木柱，其中其中至少有30根短于
的长度不小于
现从这批木柱中随机地取出100根，问
利用棣莫弗-拉普拉
的概率是多少？
的根数，则
【答案】记X 为100根木柱中长度不小于斯中心极限定理，所求概率为
这表明至少有30根木柱短于
的概率近似为
4． 假定电话总机在某单位时间内接到的呼叫次数服从泊松分布，现观测了40个单位时间，接到的呼叫次数如下:
在显著性水平0.05下能否认为该单位时间内平均呼叫次数不低于2.5次？并给出检验的p 值. 【答案】以X 记电话总机在该单位时间内接到的呼叫次数，可认为则要检验的假设为
因而，检验的统计量为若取由于u 在
5． 设X , Y 相互独立, 其中X 的概率分布为
求【答案】设
故
6． 设某班车起点站上客人数X
服从参数
的泊松分布,
每位乘客在中途下车的概率为
的概率密度
.
, 而Y 的概率密度为
,
，则
检验的拒绝域为
由于u=—2.1落入拒绝域，故拒绝原假设.
成立时，服从标准正态分布，因而检验的p 值为
. ，
，
由于n=40较大，故可以采用大样本检验，泊松分布的均值和方差都是，而
的分布函数为
, 且中途下车与否相互独立, 以Y 表示在中途下车的人数, 求:
（1）在发车时有n 个乘客的条件下, 中途有m 人下车的概率； （2）二维随机变量
的概率分布.
【答案】 （1）求在发车时有n 个乘客的条件下, 中途有m 人下车的概率,
相当于求条件概率
.
将每位乘客在中途下车看成是一次试验, 且每个人下车是独立的, 有n 个人相当于做了n 次独立重复试验. 若将乘客下车视为试验成功, 不下车视为试验失败, 而且每次试验成功的概率都为P , 则问题（1）转化为n 重伯努利试验中m 次成功的概率. 因此条件概率服从二项分布, 即
（2）求二维随机变量因为X 服从参数故
的概率分布, 其实就是求
的泊松分布, 则
, 利用乘法公式, 有
,
其中
7． 设从均值为n ，方差为常数a , b 使
【答案】由于
达到最小. 和
.
的总体中，分别抽取容量为
和的两独立样本，
都是
和
的两独立样本的均值，故
和
分别
是这两个样本的均值. 试证，
对于任意常数
是容量分别为
的无偏估计，并确定
因而
这证明了又由
知，
是的无偏估计.
从而
由求导知，当
时，
达到最小，此时
这个结果表明，来自同一总体的两个容量为均值
是线性无偏估计类
和
的样本的合样本（样本量为
中方差最小的.
）的
8． 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.8和0.7, 现已知目标被击中，求它是甲射中的概率.
【答案】记事件A 为“目标被击中”，事件为“甲射中目标”，事件因为
所以
考虑到
，故有
，
为“乙射中目标”.
二、证明题
9． 设
【答案】一方面
另一方面
，证明: