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一、计算题

1． （1）求表面积一定而体积最大的长方体；

（2）求体积一定而表面积最小的长方体.

【答案】（1）设长方体的长、宽、高分别为x , y , z , 表面积为限制条件为:

设

令

解得

因所求长方体体积的最大值, 且稳定点只有一个, 所以最大值定而体积最大的长方体是正立方体.

（2）设长方体的长、宽、高分别为z , y , z , 体积为v , 则表面积件:xyz=u

设

令

解得

故体积一定而表面积最小的长方体是正立方体.

2． 求函数

【答案】设

令

解得

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则体积为

故表面积一

限制条

在条件下的最小值.

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依题意, 相当于求n 维空间中原点到超平面

的最短距离. 由几何学知, 最短距离存在,

而稳定点只有一个, 故一定在惟一稳定点处取得最小值, 故

3． 设

其中0＜k ＜l （这两个积分称为完全椭圆积分）.

（1

）试求E

（k

）与F （

k ）的导数, 并以

E （

k ）与F （

k ）表示它们;

（2）证明E （

k ）满足方程

【答案】（1）

易证

故有

即

（2）对（1）中①式求k 的导数后, 再将①式代入得

由①, ②有

代入上式后得

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①

②

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4． 设f （

x ）在区间

[0, 1]上二阶可导且满足收敛域.

【答案】由

和. 令, 求的

及f

（x ）在点x=0

连续、可导知

, 于是

由此可知, 当n 充分大时有大时有

且与有相同的敛散性, 从而收敛. 又当n 充分

即

由此可知

即级数为[-1, 1].

5． 设f 为连续可微函数. 试求

【答案】

由于

, 所以

6． 求下列曲线在指定点P 的切线方程与法线方程:

（1）（2）

;

.

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的收敛半径

R=1,

当时与都收敛

, 故原级数的收敛域

并用此结果求