2017年安庆师范学院概率论与数理统计复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1．
设总体为均匀分布
拒绝域取为
0.05, n 至少应取多大？
【答案】均匀分布
的最大次序统计量
的密度函数为
因而检验犯第一类错误的概率为
它是的严格单调递减函数，故其最大值在若要使得
2． 设
与
则要求
独立同分布, 其共同分布为
处达到，即
这给出试求
即n 至少为17. 与
的相关系数,
是样本，考虑检验问题
求检验犯第一类错误的最大值
若要使得该最大值不超过
其中3与13为非零常数.
【答案】先计算Y 与Z 的期望、方差与协方差
.
然后计算Y 与Z 的相关系数
.
3． 设总体密度函数为数的分布.
【答案】总体分布函数为
故样本中位数
的精确分布密度函数为
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是来自该总体的样本, 试求样本中位
这个精确密度函数是26次多项式, 使用是不方便的, 譬如以求的, 可就是不方便, 寻求近似计算就十分必要.
下面来寻求故在n=9时
的渐近分布, 由于总体中位数是的渐近分布为
利用此渐近分布容易算出概率
4． 在某保险种类中，一次关于2008年的索赔数额（单位：元）的随机抽样为（按升序排列）：
己知2007年的索赔数额的中位数为5063元. 是否2008年索赔的中位数比前一年有所变化？请用双边符号检验方法检验，求检验的p 值，并写出结论.
【答案】
原假设
检验的P 值为
p 值小于0.05，所以拒绝原假设. 从而认为2008年的索赔中位数与前一年相比有变化.
5． 掷2n+l次硬币，求出现的正面数多于反面数的概率.
【答案】设事件A 为“正面数多于反面数”，事件B 为“反面数多于正面数”，因为投掷2n+l次，所以“正面数等于反面数”是不可能事件，由此得S=A.又由事件A 与B 的对称性知P （A ）=P，因此P （A ）=0.5.这里对称性起关键作用. （B ）
6． 一射手单发命中目标的概率为p （）, 射击进行到命中目标两次为止. 设X 为第一次命中目标所需的射击次数, Y 为总共进行的射击次数, 求（X , Y ）的联合分布和条件分布.
【答案】只论命中与不命中的试验是伯努利试验. 在一伯努利试验序列中, 首次命中的射击次数X 服从几何分布
, 即
其中p 为命中概率, 第二次命中目标的射击次数Y 服从负二项分布Nb （2, p ）, 即
由于X 与Y-X 相互独立, 所以条件分布
从而（X , Y ）的联合分布列为
备择假设
作差
得到检验统计量值为
且
用上述密度函数是可
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另一条件分布
注:从以上条件分布列
可知:在已知第二次命中目标的射击次数为y 的条件下,
第一次命中目标的射击次数X 是在前面次射击中等可能的.
7． 某仪器装了3个独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：h ）都服从同一指数分布，密度函数为
试求：此仪器在最初使用的200h 内，至少有一个此种电子元件损坏的概率. 【答案】设Y 为仪器在最初使用的200h 内，损坏的元件个数，则
所以至少有一个电子元件损坏的概率为
8． 设
【答案】记
为来自
的样本，试求假设样本的联合密度函数为
两个参数空间分别为
利用微分法可求出在上MLE , 于是似然比统计量为
通过简单的求导计算可知，函数是
从而似然比检验等价于采用检验是等价的.
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其中
的似然比检验.
分别为的MLE , 而在上为u 的
在（0, 1）区间内单调递增，在（）上单调递减，于
做检验统计量，也就是说，似然比检验与传统的双侧卡方