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一、计算题

1． 设随机变量

【答案】从

已知E （X ）=2.4，

和

求两个参数n 与p 各为多少？ 中解得n=6，p=0.4.

2． 经验表明：预定餐厅座位而不来就餐的顾客比例为20%.如今餐厅有50个座位，但预定给了52位顾客，问到时顾客来到餐厅而没有座位的概率是多少？

【答案】记X 为预定的52位顾客中不来就餐的顾客数，则

厅没有座位”相当于“52位顾客中最多1位顾客不来就餐”，所以所求概率为

3． 计算机在进行加法运算时对每个加数取整数（取最为接近于它的整数）, 设所有的取整误差是相互独立的, 且它们都服从（-0.5, 0.5）上的均匀分布.

（1）若将1500个数相加, 求误差总和的绝对值超过15的概率；

（2）最多几个数加在一起可使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于90%. 【答案】记为第i 个加数的取整误差, 则

（1）由

且

得所求概率为

（2）由题意可列出概率不等式

利用林德伯格-莱维中心极限定理, 可改写为

查表得

由此得

这表明:至多443个数相加, 才能使它们的误差总和的绝对值小于10的概率

因为“顾客来到餐

不小于90%.

4． 如果X 的密度函数为

试求

【答案】因为密度函数P （x ）的图形如图

.

图

因此所求概率为

5． —个质点从平面上某点开始，等可能地向上、下、左、右四个方向随机游动，每次游动的距离为1，求经过2n 次游动后，质点回到出发点的概率.

【答案】因为每次都等可能地向上、下、左、右四个方向随机游动，所以经过2n 次游动后，样本空间中共有

设所求事件为样本点共有本点总数

它为

由此得所求概率为

可算得：

6． 甲、乙两个赌徒在每一局获胜的概率都是1/2.两人约定谁先赢得一定的局数就获得全部赌本. 但赌博在中途被打断了，请问在以下各种情况下，应如何合理分配赌本：

（1）甲、乙两个赌徒都各需赢k 局才能获胜；

（2）甲赌徒还需赢2局才能获胜，乙赌徒还需赢3局才能获胜； （3）甲赌徒还需赢n 局才能获胜，乙赌徒还需赢m 局才能获胜. 【答案】按甲、乙最终获胜的概率大小来分赌本.

（1）在这种情况下，甲、乙两人所处地位是对称的，因此甲、乙最终获胜的概率都是1/2，所以甲得全部赌本的1/2，乙得全部赌本的1/2.

（2）最多再赌4局必分胜负，若以事件表示再赌下去的第i 局中甲赢，i=l，2，3，4，则

个样本点. 事件

发生要求（1）上下游动次数相等；（2）左右游动次数相等，否则不

个，当k 从0到n 累加起来就得事件

所含样

可能回到出发点，若上、下游动各k 次，那么左、右游动只能各n-k 次，这样共游动2n 次，此种

所以甲得全部赌本的11/16，乙得全部赌本的5/16. （3）再赌n+m-1局必分胜负，共有此n+m-1局中至多赢m —1局，这共有

种等可能的情况，而“甲最终获胜”意味着：乙在

种等可能的情况，若记

则

所以甲得全部赌本的

7． 设总体X

的分布函数为

是来自总体的简单随机样本，（1）求

量；（3）是否存在常数a ，使得对任意的

都有

其中为未知的大于零的参数

，

；（2）求

的极大似然估计

乙得全部赌本的

【答案】（1）由题意，先求出总体X 的概率密度函数

（2）极大似然函数为则当所有的观测值都大于

零时

，

（3）由于可知

令

得

的极大似然估计量为

独立同分布，显然对应的

由辛钦大数定律，

可得

故存在常数

使得对任意的

都有

也独立同分布，又有（1）

再由（1）（2）可知

，