2017年中南大学数学与统计学院883高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 求下列各微分方程的通解：
【答案】（1）由因
（2）
由消去
有
解得
不是特征方程的根，
故可设消去解
得即
有a=1，即
故对应的齐次方程的通解为
是原方程的一个特解，
代入原方程得
故原方程的通解为
是原方程的一个特解，代入方程得
因
故对应的齐次方程的通解
为
故原方程的通解为
A=1不是特征方程的根，故设
（3
）由
=5x2-2x-1, 理，得
比较系数
得
解得
是特征方程的单根。故设
故对应的齐次方程的通解为
即
因f （x ）
是原方程的一个特解，代入方程并整
故原方程的通解
为
（4）由因
解得
故对应的齐次方程的通解为
是特征方程的单根，故可设
比较系数，
得
-x
是原方程的一个特解，代入方程并消去e ，
得
即故原方程的通解为
（5）由解得故对应的齐次方程的通解为
因
比较系数，得
即
（6）
由
并消去e ，得ax+b-2a=x+1
2x
是特征方程的单根，顾可
设
是原方程的一个特解，代入方程并消去e ，得
x
故原方程通解为
得故对应的齐次方程的通解
为
因
不是特征方程的根，故可设
比较系数，得（7）由
因
不是特征方程的根，故可设
即
解得
a=1, b=3,
即
是原方程的一个特解，代入方程故原方程的通解
为
故对应的齐次方程的通解为
是原方程的一个特解，代入故原方程的通解为
方程，得4ax+5a+4b=-2x+3.比较系数得
（8）
由
解
得
故对应的齐次方程的通解
为
因是原方
不是特征方程的根，故可设
程的一个特解，代入方程得
比较系数有
解得
即故原方程的通解为
（9）
由解
得对应于方程
故对应的齐次方程的通解
为
可设特解
因
对应于方程
（是特征方程的根）可设特
解
是原方程的一个特解，代入方程，得
比较系数，得故原方程的通解为
（10）
由
解
得对应于方程可设特解
即
故由叠加原理，
设
故对应的齐次方程的通解
为可设特解
对应于方程
故由叠加原理。设
即
因
是
原方程的一个特解，代入方程，得
比较系数
得
故原方程的通解
为
2． 求下列已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积:
（1）y=x，x=y，绕y 轴；
2
2
（2）y=arcsinx, x=1, y=0, 绕x 轴；
22
（3）x +（y-5）=16，绕x 轴；
，y=a（1-cost ）的一拱，y=0，绕直线y=2a。 （4）摆线x=a（t-sint ）【答案】（1）（2）
（3）该立体为由曲线减去由曲线
，
，
，，
，
，
所围成图形绕x 轴旋转所得立体
（4）该立体可看作由曲线y=2a，y=0, x=0, x=2πa 所围成的图形绕y=2a旋转所得的圆柱体减，则体积为
去由摆线y=2a，x=0, x=2a所围成的立体，计摆线上的点为（x ，y ）
，再根据摆线的参数方程进
，此时y=a（1-cost ），因此有
行换元，即作换元x=a（t-sint ）
所围成图形绕x 轴旋转所得立体，因此体积为
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