2017年南京信息工程大学海洋科学学院802高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 应用对参数的微分法，计算下列积分：
【答案】（1）设
则
由于
故
于是
（2）设
则
，由于
故
又当α=1时，有
因此于是
2． 求下列极限并说明理由:
（1）（2）【答案】（1）理由：由定理2，（2）
理由：由定理1，
为当
。
时的无穷小；再由定理1，
。
在x=1处连续，从而对任一
在区间
（或
）上连续。
3． 求由摆线x=a（t-sint ），y=a（1-cost ）的一拱（0≤t ≤2π）与横轴所围成的图形的面积.
，则所求面【答案】以x 为积分变量，则x 的变化范围为[0，2πa]，设摆线上的点为（x ，y ）积为
，再根据参数方程换元，令x=a（t-sint ），则y=a（1-cost ），因此有
4． 判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集? 并分别指出它们的聚点所成的点集（称为导集）和边界.
（1） （2） （3） （4）
【答案】（1）集合是开集，无界集；导集为
，边界为
.
（3）集合是开集，区域，无界集；导集为
; ;
;
. . ，
边界为
，边界为
.
（2）集合既非开集，又非闭集，是有界集；导集为
（4）集合是闭集，有界集；导集为集合本身，边界为
5． 已知级数
（1）求出该级数的和 （2）问
取多大，能使当
时，级数的余项
的绝对值小于正数ε
（3）分别讨论级数在区间[0, 1],
在（﹣∞, +∞）上收敛。
，当x=0时，S （0）=0; 当x ≠0时，
该级数的公比为【答案】（1）设该级数的和函数为s （x ）的等比级数，且
故
于是
（2）
当x=0时，
当
时，
则当n>N时，
（3）该级数的各项
，取
（不妨设ε<1）
在区间[0, 1]上是连续的，
如果
取N=1，则当n>N时，就有
在[0, 1]上一致收敛，由定理1知，其和函数s （x ）在[0, 1]上连续，今s （x ）在[0, 1]
有间断点x=0, 由此推知该级数在[0, 1]上不一致收敛。
在区间
上，因为
所以，
取
当n>N时，对一切
有