2017年中山大学公共卫生学院673数学分析与高等代数之高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
2． 设
其中A 可逆，则A.
B.
C.
D. 【答案】C 【解析】因为
3． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
【答案】D 【解析】 4． 二次型
A. 正定 B. 不定
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则A 与B （ ）.
所以A 的特征值为3，3，0；而
=（ ）.
则线性方程组（ ）•
是（ ）二次型.
C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
方法2 设二次型矩阵A ，则
是不定二次型，故选B.
由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式
从而否定D ，故选B. 5． 设
则3条直线
（其中
）交于一点的充要条件是（ ）
.
【答案】D 【解析】令其中
则方程组①可改写为
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
线性表出.
方程组①有惟一解
由秩A=2, 可知可由
可知线性相关，即可由线性表出，
从而
线性相关，故选D.
二、分析计算题
6． 设Q.
【答案】由题设，
正交矩阵Q 使得为对角矩阵. 若Q 的第一列为求a ，
是A 的一个特征向量，于是
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解得又由于
所以A 的特征值为
属于
的一个单位特征向量为
解得A 属于特征值5
的一个单位特征向量
取
则有
并且对应特征值1有特征向
量因为A 是实对称阵，所以必与已知两
7． 构造一个3阶实对称阵A ，使其
特征值为
【答案】设属于特征值-1的特征向量为个特征向量正交，此即
由此可解得对应于特征值-1的特征向量为
将这些特征向量正交化得
再单位化得
令则
故
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