2017年中山大学数据科学与计算机学院868高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为4×3矩阵，常数，则
是非齐次线性方程组
的3个线性无关的解，
为任意
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到
是
的一个特解，所以选C.
2． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
若选
从而否定A ,
若选
从而否定C ,
中选三个向量组
（否则与
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组
的两个线性无关的解.
故选B.
3． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
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分别为A ，B 的伴随矩阵，
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
即
4． 二次型
是（ ）二次型.
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
是不定二次型，故选B.
方法2 设二次型矩阵A ，则
由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式
从而否定D ，故选B. 5． 设均为n 维列向量，A 是
矩阵，下列选项正确的是（ A. 若线性相关，则线性相关. B. 若线性相关，则线性无关. C. 若线性无关，则线性相关. D. 若线性无关，则
线性无关.
【答案】A
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. ）
【解析】因为当否则有
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
则
线性无关，
由上述知因此
线性相关，所以线性相关，故选A.
于是
二、分析计算题
6． 设
（1）证明：（2）把【答案】（1）
和
线性无关；
扩充成一个极大线性无关组.
这两个向量不成比例，故线性无关.
排为第1, 2, 3, 4, 5列，
对它作初等行变换化成阶梯形
.
（2）作矩阵A ，它分别把
由于初等行变换保持列向量之间的线性关系，以及B 的第3列是第1列及第2列的线性组合，第1列，第2 列，第4列线性无关，第5列又是第1列，第2列及第4列的线性组合. 故线性无关，
组. 于是 7． 设
是
的线性组合，即
的扩充.
分别添加到
中都成为线性相关向量
是极大无关组，且是
设把D 的第j 行换为1得D
证明：
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