2017年海南师范大学高等代数(同等学力加试)考研复试核心题库
● 摘要
一、分析计算题
1． 设数域P 上
矩阵F 的特征多项式为f （x ）及
从而对数域P 上多项式【答案】F 的特征多项式为由于故
对数域P 上非常数多项式设在复数域上
与故
2． 如果
有公共根.
当且仅当
互不相等，证明方程组
当且仅当它们在复数域上没有公共根.
则当且仅当有某
使
时
有于是
当且仅当
无解.
【答案】记方程组为由于A 有子式
而増广阵的行列式
这里
所以该方程组系数矩阵A 的秩为3, 増广阵的秩为4, 两者不等，从而方程组无解.
3． 已知
（1）A 的特征多项式
是6阶方阵A 的最小多项式，且及其若当标准形.
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试求
（2）A 的伴随矩阵的若当标准形. 【答案】（1）由A 的最小多项式
则A 必有特征值于是A 的特征多项式是由6阶行列式因子注意到
于是A 的初等因子为故A 的若当标准形为
（2）由（1）可知存在可逆矩阵P , 使于是
由于
的若当标准形依次为
故
的若当标准形为
4． 求方程组
的所有实数解. 【答案】设
由②、③得
以x , y，z 为根作3次方程
由⑥知，2, y，x 中有一个等于n ，再由①知另外两个互为相反数，因此原方程组的解为
或
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由
6阶不变因子
得
则.
从而.
或
其中k 为一切非零实数.
5． 设
是4维线性空间V 的一组基，已知线性变换T 在这组基下的矩阵为
（1）求T 在
（2）求T 的核与值域； （3）若线性变换【答案】（1）设中
故T 在
下的矩阵为
（2）（i ）先求值域TV 因为
若令则由①知
故T 的值域
为值域TV 的一组基. （ii ）再求核
由②知
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下的矩阵B ;
有
到
问是否为可逆变换？为什么？
的过渡矩阵Z , 由已知条件得
其
其中为A 的列向量，
为
的一个极大线性无关组，且秩
且