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一、分析计算题

1． 设T 是W 维空间V 的一个线性变换. 证明：

①若非零子空间W 对T 不变，则可选择V 的基，使T 在此基下的矩阵呈下形：

②T 在某基下的矩阵为对角矩阵【答案】①设W 维于W 对T 不变，从而

且

V 可表为n 个一维不变子空间的直和. 为其一基. 再扩充为V 的一基，设为

均属于W ，从而可由

下的矩阵呈（1）形.

线性表示，设为

再设

于是由上两个等式可知：T 在基②设T 在基

下的矩阵为

即

令

则

显然是一维不变子空间且

中任取一个非

由

反之，设（2）式成立，其中每个都是关于T 的一维不变子空间. 则从每个零向量

设则T 在基

（即

的一基），则

下的矩阵为

2． 求下列

是V 的一基，且由于对T 不变，故

矩阵的不变因子：

【答案】（1）因为（2）因为

所以不变因子为

所以，不变因子为

（3）当

时，原矩阵成为

此时

不变因子为1，1，当

时，

有一个3级子式

与

互素. 所以得

因此不变因子为

（4）（5）

3． 设

是数域P 上n 维线性空间V 的一个线性变换. 证明：

的多项式f （x ）使

那么

这里d （x ）是f （x ）与g （x ）的最大公因

（1）在P[x]中有一次数（2）如果式；

（3）

可逆的充分必要条件是，有一常数项不为零的多项式f （x ）使

【答案】（1）个元素皆线性相关

.

使

是V 上全体线性变换所成的线性空间中的元素. 该空间是

是该空间中

维的，任意

个元素，必线性相关.

故存在不全为零的一组数

令

f （x ）+v（x ）g （x ）. 于是

（3）必要性. 由（1），有

它的次数且使

使d （x ）=u（x ）

（2）d （x ）是f （X ），g （x ）的最大公因式，必有u （x ），

不全为零使

设

是是 不可能的. 故

于是

因

可逆，就有

且

使

即

是可逆变换.

4． （1）设为n 维线性空间V 的线性变换，

且

与

互素，则

令

则常数项

充分性. 设写出来就是于是

中第一个不为零的数.

由于

可逆，

因此

否则有

及

但

为的最小多项式. 证明：如果

其中

（2）设3维线性空间V 的线性变换在一组基多项式

由于从而有

下的矩阵为求的最小

并对于的一次因式方幂的分解式将V 分解成直和形式.

使

互素，

所以存在多项式

【答案】（1）证明：由题设