2018年黑龙江科技大学理学院601数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 证明:若
【答案】（1）若因
为
（2）当且仅当证明如下:由于是
如果
时, 由知, 对任意数列
可推出存在N , 当满足收敛:
此时, 命题变为:
时,
但数列
即是发散的.
当且仅当a 为何值时反之也成立? 则对任意
存在N , 使得n>N时,
当
时, 也
有
于
是
所以对于任
意
2． 应用柯西收敛准则, 证明以下数列
（1）（2）
【答案】（1）设
则有
因为
（2）设
于是对任意正数
（不妨设则当则有
对任给的收敛.
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）, 必存在N ,
使当时,
有
收敛.
即取
时, 由柯西收敛准则可知, 数列
取
则对一切有由柯西收敛准则知, 数列
3． 设在上连续并且单调递减, 证明:函数求导, 得
在单调递减.
【答案】对
由即函数
在
上连续且单调递减, 得
在
上单调递减.
所以
二、解答题
4
．
求曲线
（a>0
, b>0
）的全长.
贅
因此
5． 计算曲面积分所围的立体的表面的外侧.
【答案】设S 1
, S 2, S3分别为S
的上、下底面和圆柱侧面, 则
记S 1+S2在xOy 平面上的投影区域为D xy , 则
在S 3上,
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页
【答案】将曲线改写成参数方程, 并计算微弧:
, 其中S
是曲面及两个平面z=R, z=-R （R>0）
而S 3在yOz 平面上的投影区域D yz :
故
从而曲面积分
6． 判别下列级数的收敛性:
【答案】（1）达朗贝尔判别法, 因为
所以
不存在.
-显然发散.
, 由柯西判别法知此级数收敛. 本题不能应用
⑵当a=1时, 级数当0 级数收敛. 当a>1时, 因为 所以根据柯西判别法知级数收敛. 7． 设f （x ）在 上可积, 则 【答案】先证明事实上, 由定）且 , 根据A —法 , 时, 有 特别地, 有 第 4 页，共 24 页 在 收敛（即 . 上一致收敛. 关于y 一致收敛）, 及 关于x 单调（ 固 在上一致收敛. 于是 , , 当