2016年中国科学技术大学物理学院高等数学复试笔试最后押题五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 计算球体体积时，要求精确度在2%以内. 问这时测量直径D 的相对误差不能超过多少?
【答案】由于是由
知
知
，
2． 设函数f （x ）连续且横大于零，
其中
（1）讨论F （t ）在区间（2）证明当t>0时，
【答案】（1）利用球面坐标，有
利用极坐标，有
内的单调性； 。
于是
求导得
所以在区间
内，
，故F （t ）在
内单调增加。
所以
要证明t>0时，
，即证
只需证当t>0时
，
。由于
所以H （t ）在因此当t>0时，有
3． a=3i-j-2k，b=i＋2j-k ，求
⑴a ·b 及a ×b ； ⑵（﹣2a ）·3b 及a ×2b ； ⑶a ，b 的夹角的余弦.
【答案】 ⑴a ·b=（3，﹣1，﹣2）（1, 2，﹣1） ·=3×1＋（﹣1）×2＋（﹣2）×（﹣1）
=3
⑵（﹣2a ）·3b=﹣6（a ·b ）=﹣6×3=﹣18 a ×2b=2（a ×b ）=2（5, 1, 7）=（10, 2, 14） ⑶
2
（2）因为f （x ）为偶函数，故
，
且
内单调增加，又H （t ）在上连续，故当t>0时
4． 求与坐标原点O 及点（2，3，4）的距离之比为1:2的全体所组成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？
，根据题意有
【答案】设动点坐标为（x ，y ，z ）
化简整理得
它表示以
5． 计算下列各根式的近似值：
【答案】由（1）
（2）
6． 问函数
【答案】函数在[1, 4]上可导, 令
, 得驻点
（舍去）,
, 比较
在何处取得最大值? 并求出它的最大值。
知
为球心，以
为半径的球面.
得函数在处取得最大值, 且最大值为
二、证明题
7． 设函数
在x=0的某邻域内具有n 阶导数, 且
,
试用柯西中值定理证明:
【答案】已知
在x=0的某邻域内具有n 阶导数, 在该邻域内任取点x ,
由柯西中值定理得
, 其中
又
介于0, x 之间。