2016年武汉大学物理科学与技术学院高等数学(理学)(同等学力加试)复试笔试最后押题五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 由y=8, x=2, y=0所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得旋转体体积。
【答案】（1）图形绕x 轴旋转，该体积为Y 轴所得的立体）减去由曲线
；
（2）图形绕y 轴旋转，则该立体可看作圆柱体（即由x=2，y=8，x=0，y=0所围成的图形绕
，y=8，x=0所围成的图形绕y 轴所得的立体，因此体积为
2． 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？
A （1，﹣2, 3），B （2, 3，﹣4），C （2，﹣3，﹣4），D （﹣2，﹣3, 1） 【答案】A 点在第四卦限，B 点在第五卦限，C 点在第八卦限，D 点在第三卦限
3． 求与坐标原点O 及点（2，3，4）的距离之比为1:2的全体所组成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？
，根据题意有
【答案】设动点坐标为（x ，y ，z ）
化简整理得
它表示以
4． 抛物面最大值与最小值。
【答案】设椭圆上的点为
，则椭圆上的点到原点的距离平方为
满足条件：
作拉格郎日函数
令
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为球心，以为半径的球面.
被平面截成一椭圆，求这椭球上的点到原点的距离的
。
，得
式（9-4）-（9-5）
故有由将
代入或
。
，不合题意，故舍去。 和
，得
解得
于是得到两个可能的极值点
由题意可知这种距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值和最小值分别在这两点处取得。而
故最大值与最小值分别为
5． 确定λ的值，使得在不经过直线y=0的区域上，曲线积分
与路径无关，并求当L 从点A （1, 1）到B
（1, 2）时I 的值。
【答案】由于曲线积分与路径无关，则
，即
解得
，故当
。
时，曲线积分与路径无关。即
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6． 求方程
的近似根, 使误差不超过0.01。
在[l, 3]上连续, 且,
使
, 即方程
,
在区间（1, 3）内至少有一
【答案】设函数
由零点定理知至少存在一点实根。又方程
, 即
, 故函数f （x ）在[1, 3]上单调增加, 从而在（l , 3）内有惟一的实根。
在（1, 3）内至多有一个实根, 因此方程现用二分法求这个根的近似值:
故误差不超过0.01的根的近似值为
二、证明题
7． 设
，
证明：（1）f （x ）在x=0连续； （2）f （x ）在非零的x 处都不连续； 【答案】（1
）对
（2）我们证明：若
则
取一无理数列
而若同理可答:
但
不存在，故f （x ）在s 处不连续。
，由函数极限与数列极限的关系知
取
，
则当在x 0不连续。
分
别
取则
不存在，故f （x ）在r 处不连续。
一
有
理
数
列
时
，
故
，即f （x ）在x=0连续。
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