2017年北京市培养单位国家空间科学中心601高等数学(甲)考研冲刺密押题
● 摘要
一、计算题
1． 某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆（如图所示）。截面的面积为5m 。问底宽2为多少时才能使截面的周长最小, 从而使建造时所用的材料最省？
【答案】设截面的周长为, 己知故令由
所以当截面的底宽为
, 得驻点
知
为极小值点, 又驻点惟一, 故极小值点就是最小值点。
及
, 即
时, 才能使截面的周长最小, 从而使建造时所用的材料最省。
图
2． 已知
【答案】
由
，故f ’（0）不存在。
3． 在y 轴上求与点A （l ，﹣3，7）和点B （5，7，﹣5）等距离的点.
，由
【答案】根据题意，设所求点为M （0，y ，0）
得y=2.故所求点M （0, 2, 0）.
，求及，又f （0）是否存在？
4． 设扇形的圆心角
，半径R=100cm（图）. 如果R 不变，α减少30’，问扇形面积大约改
变了多少? 又如果α不变，R 增加1cm ，问扇形面积大约改变了多少?
图
【答案】扇形面积公式
为
代入上式得又将
，
代入上式得
。
，
，于
是
，
将
5． 求与坐标原点O 及点（2，3，4）的距离之比为1:2的全体所组成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？
，根据题意有
【答案】设动点坐标为（x ，y ，z ）
化简整理得
它表示以
6． 计算下列极限：
（1）（2）（3）（4）
（k 为正整数）。
为球心，以
为半径的球面.
【答案】（1）（2）（3）（4）
7． 设级数
收敛，且
不一定收敛。
问级数
是否也收敛？试说明理由。
【答案】级数当
是正项级数时，在题设条件下
即有
必定收敛，因为根据收敛数列的保号
收
性知，存在正整数N ，当n ≥N 时有敛，即
当
收敛。
不是正项级数时，
于是，按正项级数的比较审敛法知
可能不收敛。例如：若
然而
发散。
则
收敛，且
8． 根据二重积分的性质，比较下列积分的大小:
，其中积分区域D 是由x 轴、y 轴与直线x+y=1
所围成；
，其中积分区域D 是由圆周
围成；
，，1, 1），其中D 是三角形闭区域，三顶点分别为（1, 0）（
；
（2, 0）
，其中
【答案】（1）在积分区域D 上，
，故有
根据二重积分的性质4，可得
。 所
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