2017年北京市培养单位高能物理研究所602高等数学(乙)考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设f （x ）在区间[a, b]上连续，g （x ）在区间[a, b]上连续不变号，证明至少存在一点使下式成立：
【答案】不妨设
（积分第一中值定理）。
，由定积分性质可知
故有
当当
时，由上述不等式可知时，
有
，故结论成立。
，由闭区间上连续函数性质，知
存在
，
记f （x ）在[a, b]上的最大值为M 、最小值为m ，则有
，使得
2． 计算下列各导数:
从而结论成立。
【答案】
3． 利用逐项求导或逐项积分，求下列级数的和函数:
【答案】（1）容易求出此级数的收敛半径为1，当
时，
在上式两端对x 求导得
又原级数在
处发散，故它的和函数
（2）不难求出此级数的收敛半径为1，当
时，
有
在上式两端分别从0至x 积分，并由于
又原级数在
处均发散，故它的和函数
（3）记级数为
其收敛半径为1，当
时，有
在上式两端分别从0至x 积分，并注意到
在x=0处收敛于0，故得 在x=0处收敛于0，故得
又原级数在有
其中
4． 求下列函数的偏导数：
【答案】
故原级数的和函数
处均匀发散，故它的和函数
当
当
时，
（4）容易求得此级数的收敛半径为1，收敛域