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一、计算题

1． 求由曲面

【答案】

由区域为

（图）

所求立体的体积等于两个曲顶柱体体积的差

及

所围成的立体的体积。 消去Z ，

得

，

故所求立体在

面上的投影

图

2． 一物体按规律x=ct3作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由x=0移到x=a时，克服介质阻力所作的功。

【答案】速度为设当t=T时，x=a，得

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，阻力为，故

，由此得到

。

。

3． 当正在高度H 飞行的飞机开始向机场跑道下降时，如图所示，从飞机到机场的水平地面距离为L 。假设飞机下降的路径为三次函数确定飞机的降落路径。

的图形，其中

试

【答案】设立坐标系如图所示。根据题意，可知

为使飞机平稳降落，尚需满足

解得

在

取多大，能使当

在任一有效区间[a, b]上一致收敛。

故飞机的降落路径为

4． 已知函数序列

（1）问（2）证明

上收敛于0.

时，与其极限之差的绝对值小于正数ε？

【答案】（1）由于当

就有（2）记

则

，因此对于正数ε，取则

于是

故取当时，对一切都有

即

5． 问函数

在上一致收敛于0.

在何处取得最大值? 并求出它的最大值。

, 比较

【答案】函数在[1, 4]上可导, 令

, 得驻点

（舍去）,

得函数在处取得最大值, 且最大值为

6． 求平面2x －2y ＋z ＋5=0与各坐标面的夹角的余弦.

【答案】平面的法向量为n=（2，﹣2，1）. 设平面与三个坐标面xOy ，yOz ，zOx 的夹角分别

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为，，. 则根据平面的方向余弦知

7． 一飞机沿抛物线路径机的速度为的反力。

【答案】

抛物线在坐标原点的曲率半径为

所以向心力为

座椅对飞行员的反力F 等于飞行员的离心力及飞行员本身的重量对座椅的压力之和, 因此,

8． 一均匀物体（密度为常量）占有的闭区域由曲面所围成。

（1）求物体的体积; （2）求物体的质心;

（3）求物体关于z 轴的转动惯量.

【答案】（l ）如图所示，由的对称性可知

和平面z=0, │x │=a, │y │=a

（y 轴铅直向上, 单位为m ）作俯冲飞行。在坐标原点O 处飞

, 飞行员体重G=70 kg。求飞机俯冲至最低点即原点O 处时座椅对飞行员

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