2017年北京市培养单位高能物理研究所602高等数学(乙)考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 设f （x ）可导，求下列函数的导数
。
【答案】（2）
2． 计算下列三角函数值的近似值:
【答案】（1）由
及取得
（2）由及取
得
3．
设
在
的某邻域内具有三阶连续导数,
如果
, 不妨设时
,
时
时,
为曲线的拐点。
4． 利用等价无穷小的性质，求下列极限：
（1）（2）
； （n 、m 为正整数）
,
由于, 故
在
, 即函数
, 即函数f （x ）在
在
,
而
,
试问
是否为拐点? 为什么?
【答案】已知在3>0,
当
, 从而当
凸的, 当
的某个邻域内连续, 因此必存内
在
单调增加。又己
知
内的图形是
内的图形是凹的,
所以点
（3）（4）【答案】（1）（2）
（3）
注:在作等价无穷小的代换求极限时，可以对分子或分母中的一个或若干个因子作代换，但不能对分子或分母中的某个加项作代换。例如，本题中若将分子中的tanx 、sinx 均换成x ，那么分子成为0，得出极限为0， 这就导致错误的结果。
（4）
5． 设a=（2，﹣l ，﹣2），b=（1，1，z ），问z 为何值时
【答案】
最小? 并求出此最小值.
由于达到最小值.
经验证z=﹣4时，f （z ）达到最大值，此时
达到最小值且由
，
为单调递减函数.f （z ）取得最大值时，
知
6． 设f （x ）的定义域D=[0，l]，求下列各函数的定义域:
（l ）（2）（3）（4）【答案】（1）（2）（3）（4）
当
时，
，当
时，定义域为。
。
7． 一平面过点（1，0，﹣l ）且平行于向量a=（2，1，1）和b=（1，﹣1，0），试求这平面方程.
【答案】所求平面平行于向量a 和b ，可取平面的法向量
故所求平面为1·（x －1）＋1·（y －0）－3·（z ＋1）=0，即
x ＋y －3z －4=0
8． 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm 和6cm ，高为20m ，较长的底边和水面相齐。计算闸门的一侧所受的水压力。
【答案】如图建立坐标系，则过A 、B 两点的直线方程为的变化范围为[-20, 0]，对应小区间[y，y+dy]的面积近似值为因此水压力为
，取Y 为积分变量，Y
，γ表示水的密度，
图