2017年南京师范大学数学科学学院846高等代数考研题库
● 摘要
一、分析计算题
1． 设
，如果是线性空间V 上的线性变换
但
用
上式成为
再用因此
作用于此式两端，
可得
线性无关.
问：
由
得
这样继续作下去，
即得到求证
作用于此式两端. 由
于
线性无关.
【答案】设
有
得
但
2． 设A ，B 为n 阶方阵
，
①二次型②若由于的矩阵为②若
的矩阵为何？
则A 与B 是否相等？
虽为n 元二次型，但其矩阵不能肯定是A.
对称，故
【答案】①因为未假设A 对称，故
则A 与B 不一定相等. 例如，
但是
的系数分别为
中的系数
对应相等，故
但因为
不过，当因为
与故
3． 已知大线性无关组.
【答案】
由于
又设
的线性组合，又
任给
均为对称方阵时二者必相等： 展开后，
与
的秩为r , 证明：中任意r 个线性无关的向量都构成它的一极
的秩为r , 必有一极大线性无关组由r 个向量组成，
不妨设为
是
由定理
中的r 个无关的向量
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中的，则任一
’
个向量（允许重复）是线性相关的. 任意与它们合成
是
个向量. 第一段中
已证明线性相关. 由定义13知
4． 设m ，n 为自然数，证明：
【答案】（I ）记所以
则存在
使
是
的一个极大线性无关组.
即
同理有
（II ）设由于所以
而
结合式（1）、式（2）可得由（I ）、（II ）可知.
5． 设分块矩阵
【答案】由.
是方阵，
由
可得
使
的一个公因式，即
注意到
两边取迹得
因此
6． 设
是n 维空间V 的两个子空间，且其维数之和等于n. 证明：存在V 的线性变换V 使
则取T=0; 若
则取T=I, 即得. ）且
与
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【答案】若设
维数分别为S ，T （于是
分别为（其中
与的一基. 现扩充为
使
个向量）为V 的一基. 于是，存在T 的线性变换T 使
由此可得
下再证：任取则由（8）得所以因此，又因为
故由（8）知
从而
则
再令
（9）
7． 先求下列各矩阵在实数域上的初等因子，再求其不变因子和标准形：
【答案】分别用
表示以上两个矩阵
.
因此，素为
的不变因子为
的三阶矩阵即为
在实数域上的初等因子为
故
的不变因子为（秩为3）
因此，主对角线上元素为
8． 求下列矩阵的最小多项式
（1）
的四阶对角矩阵即为矗
的标准形.
的标准形
.
故主对角线上元
在实数域上的初等因子为
（2）
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