2018年南开大学数学科学学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设各零件的质量都是随机变量, 它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为差为
问5000只零件的总质量超过
为第i 只零件的质量，由
的概率是多少？
得
利用林德伯格-莱维中心极限定理，所求概率为
这表明:5000只零件的总质量超过
2． 设随机变量
的概率近似为
【答案】记
标准
服从柯西分布，其密度函数为
试证:
当
时，有
【答案】对任意的
即结论得证.
3． 某地区一个月内发生重大交通事故数X 服从如下分布
表
1
试求该地区发生重大交通事故的月平均数. 【答案】
4． 设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布列为
表1
试分别求
【答案】可以看出
的分布列.
的可能取值为1, 2, 3, 并且
即U 的分布列为
表
2
又可以看出
的可能取值为0，1，2，并且
即V 的分布列为
表
3
5． 设A , B 为两事件，
【答案】由条件概率的性质知
其中.
，而
6． 在下列密度函数下分别寻求容量为n 的样本中位数
（1）（2）
的渐近分布.
. 代回原式，可得
.
（3）（4）称，
所以
于是样本中位数
【答案】（1）先求出总体的中位数. 该分布是贝塔分布
的渐近分布为
所以
的渐近分布为
可以看出
关于0.5对
（2）正态分布
（3）该分布的密度函数为所以
的渐近分布为
的中位数为
所以相应的中位数为
（4）该分布的密度函数关于y 轴对称，故相应的中位数为0, 所以
7． 有两台机器生产同种金属部件，分别在两台机器所生产的部件中各取一容量为m=14和n=12的样本，
测得部件质量的样本方差分别为水平
检验假设
.
，设两样本相互独立，试在显著性
的渐近分布为
【答案】这是一个关于两正态总体方差的单侧检验问题，由所给条件算得若取显著性水平值），
拒绝域为
8． 设曲线函数形式为
【答案】令
，此处，检验统计量未落入拒绝域中，因此接受原假设.
试给出一个变换将之化为一元线性回归的形式. ，则原曲线函数化为
，即为一元线性回归的形式.
，可求得临界值为
，
（可用线性插值法或用统计软件求出此值，如在Matkb 中输入
即可给此
9． 口袋中有n-l 个黑球和1个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一个黑球. 问第k 次摸球时，摸到黑球的概率是多少？
【答案】记事件
为“第k 次摸到黑球”，因为计算
较难，故先计算
. 由于口袋
中只有一个白球，而摸到球后换入的都是黑球，所以如果第k 次摸到白球球数不变，故
，则前面k 一1次
一定不能摸到白球，即前面k 一1次都摸到黑球，而换入的仍为黑球，即每次摸球时黑球数和白