2018年南开大学数学科学学院847概率论与数理统计考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、计算题
1． 设总体为均匀分布
拒绝域取为0.05, n 至少应取多大？
【答案】均匀分布
的最大次序统计量
的密度函数为
因而检验犯第一类错误的概率为
»
它是的严格单调递减函数，故其最大值在
，则要求
处达到，即
若要使得
，这给出
，即n 至少为17.
2． 一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的三倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机地抽取一件，试求取到三级品的概率.
【答案】设取到三级品的概率为P ，则取到二级品的概率为2p ，取到一级品的概率为6p , 由6p +2p +P=1，解得
3． 设某一设备装有3个同类的电器元件，元件工作相互独立，且工作时间都服从参数为
【答案】
记
为第i 个元件的工作时间，
则
是样本，考虑检验问题
，
求检验犯第一类错误的最大值
若要使得该最大值不超过
的指
数分布，当3个元件都正常工作时，设备才正常工作，试求设备正常工作时间T 的概率分布.
独立同分布，其共同的密度
函数和分布函数分别为
由题设条件知，当3个元件都正常工作时，设备才正常工作，这等价于“3个元件中有一个失效，则此设备就停止工作”，故设备正常工作时间
，所以T 的密度函数为
这表明:设备正常工作时间T 服从参数为
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的指数分布.
4． 设二维随机变量（X ，Y ）的联合密度函数为
试求 （1）（2）（3）（4）【答案】 （1）
（2）P （x=y）=0 （3）
（4）（x , y ）的联合分布函数
要分如下5个区域表示:
的联合分布函数.
5． 设
来自伽玛分布族的一个样本，寻求的充分统计量.
【答案】样本的联合密度函数为:
由因子分解定理，
6． 设样本的置信度
来自总体
的罝信区间的长度. 求
, 知
的置信度为
的置信区间为,
则
.
又
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或
, 其中和
.
是充分统计量.
均为未知参数, 设随机变量L 是关于
【答案】由当
未知时,
,
区间长度为
是总体方差的无偏估计, 则, 即
7． 某建筑工地每天发生事故数的现场记录如下:
表
试在显著性水平
下检验这批数据是否服从泊松分布.
【答案】仍为检验总体是否服从泊松分布的分布拟合检验问题. 由于有几类的观测个数偏少，为使用近似分布，需要把后面四类合并为一类. 于是我们把总体分成4类，在原假设下，每类出现的概率为:
未知参数采用最大似然估计得:
将代入可以估计出诸于是可计算出检验核计量
表
，如下表:
若取由于
，查表知，故拒绝域为.
故不拒绝原假设，在显著性水平为0.05下可以认为这批数据服从
泊松分布. 此处检验的p 值为
8． 两台车床加工同样的零件，第一台出现不合格品的概率是0.03, 第二台出现不合格品的概率是0.06, 加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件数比第二台加工的零件数多一倍.
（1）求任取一个零件是合格品的概率；
（2）如果取出的零件是不合格品，求它是由第二台车床加工的概率. 【答案】记事件A 为“取到第一台车床加工的零件”，则到合格品
（1）用全概率公式
（2）用贝叶斯公式
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，又记事件B 为“取
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