2017年长江大学应用数学806数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1．
设
为区间
【答案】因为得
又因为
即
根据闭区间上连续函数的介值定理，存在
2． (1) 问
【答案】(1)
因为
从而
即
是以1为周期的周期函数，其图像如图所示
.
图
(2) 不一定. 例如，函動
3． 证明：若函数
就不是周期函数. 满足拉普拉斯方程：
则函数【答案】令
也满足此方程.
则有
使得
：表示的整数部分) ；
按
的定义，
即得
.
为区间
上的连续函数，所以存在最大值与最小值，即存在M , m ，使
上的连续函数，
且
证明：
存在
使得
是否是周期函数？并画出它的图形(其中
所以
(2) 两个周期函数之和是否一定是周期函数？
同理由于
故有同理
将①和②两式相加，并把上述结果代入整理后得
4． 设
【答案】由上确界定义，
对
证明：存在
使使
又由
由迫敛性得
成立.
二、解答题
5． 设
为连续函数
为任意开集
为任意闭集，试问，
是否必为开集？
是否必为闭集？
【答案】不一定，反例： (1) 对于连续函数(2) 对于连续函数
6． 证明下列数列极限存在并求其值：
⑴设（2）设（3）时成立，则
再证
递增
，
有上界2. 当n=l时，
有上界2.
单调递增. 根据单调有界定理，极限
存在.
. 因此
显然成立，假设n=k
由数学归纳法知
【答案】（1）先用数学归纳法证数列
为开集，
但
为开集，但
不是开集。
不是闭集.
设在等式由保不等式性可知
两边取极限得，
故
.
即解得a=0或a=2.
因为
（2）首先证明数列是单调的
.
所以数列再证明数列要满足两个条件
：
此，可猜想数列
有上界是递增的.
是有上界的. 先猜想
，再用数学归纳法来证明. 为此M （M 为某个正整数）即
由于
，当n=l时，显然
的根为
因
假设n=k时成立，则n=k+l时，
即得
，
有上界. 由单调有界定理知，数列
解
得
（3）设M 是一个大于c 的正整数，即M>c，则当n>M时，
由
7． 研究函数
的连续性，其中f (x ) 在闭区间[0, 1]上是正的连续函数。 【答案】当
时被积函数是连续的，因此F (y ) 为连续函数。当y=0时有F (0) =0。设m 为f (x )
于是当
时，
而
所以F (y ) 在点y=0不连续。
8． 设C 是柱面计算曲线积分
【答案】由斯托克斯公式得
的极限存在. 设对因
为
所
以
两边取极限
因
此
其
中
可知.
因此
由迫敛性得
在[0，1]上的最小值，则
与平面
的交线a 从x 轴正向看为逆时针方向，
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