2017年长江大学应用数学806数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设为
上的连续减函数，
又设
内的连续函数，所以
因此，数列可见
2． 设f (x , y) 为连续函数，且
【答案】令
所以
3． 证明：
【答案】(1
)
4．
为(2)
试证：
【答案】首先证明
存在.
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证明为收敛数列。
为
【答案】因
有下界，又因
收敛。 证明：
为递减数列，由单调有界定理知
中的开集
，
的x 存在关于
为上的函数，且
中的y —致连续.
(1) 对每个
因
根据条件(2)
令其次
，
所以
当
使得
时，有
根据柯西准则，知
存在. 即等式
取极限，根据条件(1)
可得
由
①左端极限存在，记之为A.
利用条件(2) 及上一步骤之结论，可取x 与将x 固定，由条件(1)
于是由②式知
使得
充分接近使得
时证毕.
二、解答题
5． 求下列均匀密度的平面薄板质心：(1) 半椭圆等腰梯 形•
【答案】(1) 设质心位置在
由对称性
(2) 设等腰梯形在直角坐标中位置如图, 其质心位置为
图
其中
6． 求下列不定式极限：
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(2) 高为h ，底分别为a 和b 的
由对称性
【答案】 （1）
因为
所以
因为
所以
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、
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