2018年上海理工大学管理学院811概率论与数理统计考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量X 服从负二项分布，其概率分布为
证明其成功概率p 共轭先验分布族为贝塔分布族. 【答案】取成功概率p 先验分布为所以，
，则
与的联合分布为
即成功概率p 的后验分布为塔分布族.
2． 证明:若
，故成功概率p 的共轭先验分布族为贝
则对有
并由此写出
与
其
中
【答案】由t 变量的结构知，t 变量可表示
为
且U 与V 独立，从而有
由于
将两者代回可知，在
时，若r 为奇数，则
若r 为偶数，则
证明完成. 进一步，当当
时，
，证明:
；
3． 对于组合数
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
【答案】（1）等式两边用组合数公式展开即可得证. （2）因为
（3）因为
（4）因为
所以
（5）设计如下一个抽样模型:一批产品共有a+b个，其中a 个是不合格品，b 个是合格品，从中随机取出n 个，
则事件=“取出的n 个产品中有k 个不合格品”的概率为
由诸互不相容，且
得
时，（此时要求（此时要求
否则均值不存在）， 否则方差不存在）.
把分母移至另一侧即得结论.
注:还有另一种证法:下述等式两端分别展开
可得
比较上式两端的系数即可得
（6）在（5）中令
，则得
再利用（1）的结果即可得证.
4． 设
是来自
的样本，
为其次序统计量，令
证明【答案】令作变换
相互独立.
则
的联合密度函数为
其中
联合密度函数为
其雅可比行列式绝对值为
该联合密度函数为可分离变量，因而相互独立，且
5． 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性:若随机变量独立， 则
【答案】记这正是二项分布
因为
的特征函数，由唯一性定理知
且X 与Y
所以由X 与Y 的独立性得
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