2018年上海理工大学管理学院811概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设
令证明:且
服从
则
相互独立，
相互独立，服从
【答案】令
再令则
所以变换的雅可比行列式为:
计算该行列式，可得
因为，
把雅可比行列式代入上式可得
由此可知
相互独立，且服从
2． 证明:若明:
与是未知参数的两个UMVUE , 则依概率几乎处处成立. 这个命题表
的UMVUE 在几乎处处的意义下是唯一的. 【答案】首先指出于是
几乎处处成立.
是0的无偏估计，则已知
由此立即可得几乎处处成立，即
3． 设A ，B ，C 为三个事件 ，且
.
证明:【答案】由所以得
4． 设总体为
证明样本均值和样本中程【答案】由总体这首先说明样本均值为求样本中程注意到则
由于从而
这就证明了样本中程是的无偏估计. 又注意到
所以
从而
得
. 进一步由
得
为样本，
都是的无偏估计，并比较它们的有效性. 得
是的无偏估计，且
的均值与方差，
令
因而
.
又因为
，
故
于是
在
时,
这说明作为0的无偏估计，在
比样本均值有效.
若
其中
则
而
正是泊松分布的特征函数，故得证.
在区间
上服从均匀分布.
代入函数
6． 假设随机变量X 服从参数为2的指数分布. 证明:
时，
样本中程
5． 利用特征函数方法证明如下的泊松定理:设有一列二项分布
则
【答案】二项分布因为
所以当
的特征函数为
时，
【答案】随机变量X 服从参数为2的指数分布, 则X 的概率密度为求得到所以当当
的分布, 关键是确定分段点. 将X 的概率密度函数的分段点同时利用函数
的图形知它的最大值是
是不可能事件, 所以
是Y 的分布函数的分段点. 时, 时, 则
当
时,
下面求Y 的分布函数
综上所述, 得到Y 的分布函数为上式恰好是区间即证明了
上服从均匀分布的随机变量的分布函数, 在区间（0, 1）上服从均匀分布.
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