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一、证明题

1． 设

【答案】一方面

另一方面

2． 设

为n 维随机变量，其协方差矩阵

存在. 证明:若

使得

【答案】由于使得另一方面，

方差为零的随机变量必几乎处处为常数，故存在常数a ，使得

3． 若因为

所以有

4． 设

是来自

，即得的样本，证明

为

.

没有无偏估计.

的无偏估计，则

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，证明:

则以概率

1在各分量之间存在线性关系，即存在一组不全为零的实数

意味着B 非满秩，故存在一组不全为零的实数向量

，证明:对任一事件B , 有

，所以由单调性知

.

，从而得

，又

【答案】因为

【答案】（反证法）假设

由上式可知，等式的左边关于处处可导，而等式的右边在因此，假不成立，即

5． 设总体的概率函数证明费希尔信息量

【答案】记，

，则

的费希尔信息量存在，若二阶导数

没有无偏估计.

处不存在导数.

对一切的存在，

所以

另一方面，

这就证明了

且X 与Y

6． 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性:若随机变量独立， 则

【答案】记这正是二项分布

因为

的特征函数，由唯一性定理知

存在，试证明:

所以由X 与Y 的独立性得

7． 设X 为非负连续随机变量，若

（2）

【答案】（1）因为X 为非负连续随机变量，所以当x<0时，有F （x ）=0.公式得

（2）因为X 为非负连续随机变量，所以X 也是非负连续随机变量，因此利用（1）可得

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令，则

8． 设连续随机变量X 的分布函数为F （x ），且数学期望存在，证明:

【答案】

将第一个积分改写为二次积分，然后改变积分次序，得

第二个积分亦可改写为二次积分，然后改变积分次序，可得

这两个积分之和恰好是所要求证明的等式.

二、计算题

9． 某班n 个战士各有1支归个人保管使用的枪，这些枪的外形完全一样，在一次夜间紧急集合中，每人随机地取了1支枪，求至少有1人拿到自己的枪的概率.

【答案】这是一个配对问题. 以记事件“第i 个战士拿到自己的枪”，i=l，2, …，n. 因为

所以由概率的加法公式

得

当n 较大时，上式右端近似于

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