2017年湖北省培养单位武汉物理与数学研究所801高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设
又
则（ ）•
【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得
即
2． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知所以
3． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设
并记A 各列依次为
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为空间的两组基，且
由②有
由于
又由方法2:设考虑到
不妨设由于AB=0可推得AB 的第一列
从而
线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 4． 设 是非齐次线性方程组 的两个不同解， 是 的基础解系， 为任意常数， 则Ax=b的通解为（ ）• 【答案】B 【解析】因为中 不一定线性无关. 而 由于 因此 线性无关，且都是 知 的解. 是 的特解，因此选B. 所以 因此 不是 的特解，从而否定A , C.但D 故是的基础解系. 又由 5． 下面哪一种变换是线性变换（ ） . 【答案】C 【解析】 ，而 不一定是线性变换， 比如 不是惟一的. . 则 也不是线性变换， 比如给 二、分析计算题 6． 设A 为n 阶方阵且0为其k 重特征根. 证明：当且仅当块放在一起记为 则有 第 3 页，共 39 页 时 【答案】把A 的若尔当标准形中特征根不是0的子块放在一起记为B ，而把特征根为0的子 其中B 可逆. 由此得 因此 于是由于即 中的若尔当块若阶数大于1，则必有 但0是A 的k 重特征根，因此，为k 阶. 从而 为k 阶，即 7． 设n 是正整数，证明： 【答案】 当 故 的阶数为1， 在有理数域上可约的充要条件是存在整数m ，使 时，显然有 所以， 设 在有理数域上可约， 在有理数域Q 上可约，由于 不存在有理根，所以存在 使 比较系数得 由式⑴得 代人式（3）得 （i ）如果a=0, 贝I 油式（2）得（ii ）如由于 代人式（4）得 得出矛盾. 由式（6）知] 从而 8． 设A 是实对称矩阵. 证明： （1）存在正实数 （2）存在正实数【答案】（1）设 使得 则 是正定矩阵. 的k 阶顺序主子式 注意 到 是实多项式函数 ， 则 时， 第 4 页，共 39 页 则有b=d，结合式（2）、式（4）得 使得对于任意的n 维列向量，都有 则存 在 故 正定. 当时 ， 取
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