2018年华南师范大学生命科学学院314数学(农)之概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、计算题
1． 设
【答案】由条件
，若
，得
，试证:A 与B 独立.
. 再由上题即得结论.
2． 设某妇产医院男婴的概率是0.515, 求新生的10000个婴儿中女婴不少于男婴的概率.
【答案】设10000个婴儿中男婴的个数为X , 且
3． 学生在做一道有4个选项的单项选择题时，如果他不知道问题的正确答案，就作随机猜测. 现从卷面上看题是答对了，试在以下情况下求学生确实知道正确答案的概率.
（1）学生知道正确答案和胡乱猜测的概率都是1/2; （2）学生知道正确答案的概率是0.2.
【答案】记事件A 为“题目答对了”，事件B 为“知道正确答案”，则按题意有
（1）此时有
，所以由贝叶斯公式得
（2）此时有
，所以由贝叶斯公式得
4． 对下列数据构造箱线图
【答案】这批数据
最小值为
最大值为
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. 应用中心极限定理得
中位数、第一四分位数和
第三四分位数分别为
于是可画出箱线图
图
5． 设
是来自密度函数为
的样本，
（1）求的最大似然估计它是否是相合估计？是否是无偏估计？ （2）求的矩估计
它是否是相合估计？是否是无偏估计？
【答案】（1）似然函数为
显然又
在示性函数为1的条件下是的严增函数，因此的最大似然估计为的密度函数为
故
故
不是的无偏估计，但是的渐近无偏估计. 由于
且
这说明又这说明
是的相合估计.
，这给出，所以
既是的无偏估计，也是相合估计.
所以的矩估计为，从而有
6． 设随机变量X 的密度函数为
试求
【答案】因为
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（2）由于，
.
所以
7． 有一个分组样本如下表:
表
1
•，由此得
.
试求该分组样本的样本均值、样本标准差、样本偏度和样本峰度. 【答案】计算过程列表如下表:
表
2
因而可得样本均值，样本标准差、样本偏度和样本峰度分别为
8． 设离散随机变量X 服从巴斯卡分布
试求X 的特征函数. 【答案】
设
的特征函数为其中
又因为
是相互独立同分布的随机变量，且都服从参数为p
的几何分布
所以X 的特征函数为
二、证明题
9． 设
是来自两参数指数分布
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