2018年华南师范大学生命科学学院314数学(农)之概率论与数理统计考研强化五套模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 某种产品上的缺陷数X 服从下列分布列:缺陷数.
【答案】由题意知Y =X+1可看作服从几何分布得
2． 一个罐子里装有黑球和白球，有放回地抽取一个容量为n 的样本，其中有k 个白球，求罐子里黑球数和白球数之比R 的最大似然估计.
【答案】解法1记p 为罐子中白球的比例，令表示第i 次有放回抽样所得的白球数， 则
因为黑球数与白球数比值
，故p 的最大似然估计为
根据最大似然估计的不变性，有
对具体的样本值即n 个抽到k 个白球来讲，R 的最大似然估计为解法2设罐子里有白球1个，则有黑球从中有放回的抽一个球为白球的概率为
从罐中有放回的抽n 个球，可视为从二点分布
表
中抽取一个样本容量为n 的样本. 当样本中有k 个白球时，似然函数为
>
其对数似然函数为
将对数似然函数对R 求导，并令其为0, 得似然方程解之可得
由于其对数似然函数的二阶导数为
，
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求此种产品上的平均
的随机变量，所以
，由此
. 个球.
个，从而罐中共有
，
，
所以是R 的最大似然估计.
，
譬如，在n=10, k=2场合，R 的最大似然估计黑球为8个等.
3． 假设
（1）A ，B 不相容； （2）A ，B 独立; （3）
【答案】由加法公式及其变形可知: （1）因为A ，B 不相容，所以（2）因为A , B 独立，所以由
（3）因为
所以
，由此得
即罐中黑球数与白球数之比的最大似然估计为4，若白球1个，黑球为4个；或者白球2个，
在以下情况下求P （B ）:
得
比赛进行到有一人
表示到第k-l
4． 甲、乙两人进行象棋比赛，每局甲胜的概率为p ，乙胜的概率为连胜两局为止，求平均比赛局数.
【答案】设X 为决定胜负所需的局数，X 可取2, 3, …等正整数值，事件局时没有一人连胜两局，总是两人轮流胜，所以
公式，可得
又因为对任意的
，总有
故由E （X ）是pq 的严增函数可得
这表明:这种象棋比赛决定最终胜负的平均局数不超过3局，它在两选手势均力敌（p=l/2）时达到上界.
5． 有两箱零件，第一箱装50件，其中20件是一等品；第二箱装30件，其中18件是一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然而从该箱中先后任取两个零件，试求:
（1）第一次取出的零件是一等品的概率；
（2）在第一次取出的是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率. 【答案】记事件为“第i 次取出的是一等品”，i=l, 2. 又记事件2.
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为“取到第i 箱”，i=l，
（1）用全概率公式
（2）因为
所以
6． 设二维离散随机变量
的联合分布列为
表
1
试求
【答案】因为
除以此列的总和
和
所以用
得
的条件分布列为 表
2
这一列的各个概率
由此得同理，用得
这一行的各个概率的条件分布列为
表
3
由此得
分布含有丰富的信息，可根据需要从中提取之.
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除以此行的总和
注:这个二维离散随机变量的联合分布列含有2个边际分布、10个条件分布. 可见，多维联合
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