2017年常州大学数理学院601理学数学考研强化模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 求下列齐次方程的通解
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
【答案】（1）当x>0时，可将原方程写成则原方程为
积分得将
，分离变量，得，即
代入上式并整理，得通解
，
令
，
即。
，即
，故通解为，令，积分得
。
，有
，积分得
，则原方程为
，即
。
。
，即
。
。
。 ，有
，则原方程
。
，
有
，
则原方程为
，令。
，即
有
，
（2
）原方程可表示成
，分离变量，得
积分，得将
代入上式，得
（3）原方程可表示为为
将
，即
代入上式并整理，得通解
（4）原方程可写成令
，即
分离变量，得将
代入上式并整理，得通解
（5）原方程可写成
。分离变量，得
将
代入上式，得通解（6）原方程可写成则原方程为整理并分离变量，得积分得 2． 设又
【答案】由
，其中，求函数值
可得
即
。
, 令，即，积分得
，有，
则原方程成为，即
。令 ，即
，将，。
，即，有。
。
代入上式，得通解二阶可导，
。 ，
由对称性可知
又
，则
则
，故
。
又，则，故
则
。
3． 求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点（x , y ）处的切线斜率等于2x+Y。
，依题意有【答案】设曲线方程为y=y（x ）
由x=0，y=0，得C=2.故所求曲线的方程为
4． 镭的衰变有如下的规律:镭的衰变速度与它的现存量R 成正比. 由经验材料得知，镭经过1 600年后，只余原始量R 0的一半. 试求镭的存量R 与时间t 的函数关系.
【答案】设在时刻t ，镭的存量为
，即
。
，将t=1600，
，代入上式，得
，即
，
，由题设条件知，
，即
，
积分得
，即
R=R0，因t=0时，故C=R0，所以
5． 计算下列三重积分：
。
。
，其
中所围立体。
为
由
，其中
体。
为由所围立
，其中
体。
【答案】（1）由于积分区域为
关于
为由所围立
平面对称，
则令
，
，则
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