2018年北京师范大学研究生院珠海分院873数学[专业硕士]之数学分析考研核心题库
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2018年北京师范大学研究生院珠海分院873数学[专业硕士]之数学分析考研核心题库（一） . 2 2018年北京师范大学研究生院珠海分院873数学[专业硕士]之数学分析考研核心题库（二） . 6 2018年北京师范大学研究生院珠海分院873数学[专业硕士]之数学分析考研核心题库（三） 10 2018年北京师范大学研究生院珠海分院873数学[专业硕士]之数学分析考研核心题库（四） 15 2018年北京师范大学研究生院珠海分院873数学[专业硕士]之数学分析考研核心题库（五） 20
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一、证明题
1． 设函数f 在区间I 上满足利普希茨（Lipschitz ）条件, 即存在常数L>0, 使得对I
上任意两点
都有
证明:f 在I 上一致连续. 【答案】对任给的故f 在I 上一致连续.
2． 设f 以f.
为周期且具有二阶连续的导函数, 证明f 的傅里叶级数在
上一致收敛于
取
, 则当
且
时, 有
【答案】因f （X ）是以叶级数, 不妨设
为周期的具有二阶连续导数的函数, 故f （x ）, f （x ）可展开成傅里
要证f （x ）的傅里叶级数在
上一致收敛于, f 只需要证明级数
收敛, 则由定理可知f （x ）的傅里叶级数一致收敛于f 由周期性可得所以
由贝塞尔不等式知级数
收敛, 再由
收敛知
收敛, 所以f 的傅里叶级数在
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因此
1收敛, 进而
上一致收敛于f
3． 设收敛
，证明
：
的前n 项和S n . 则
.
【答案】记级数
对上式两边取极限，从而
即
4． 设
【答案】
, 证明
二、解答题
5． 求下列极限:
【答案】（1
）因
（x>0
, y>0>）所以
（2）
6．
若f （x ）在
【答案】
设
只要取
即f （x ）在
7． 求下列函数微分:
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.
内连续, 且
则对
存在,
求证:f （x ）在, 存在X0, 使得当xX 时,
上连续, 所以存在
使得
内有界
.
即
有
, 又因为f ）（x ）在
. 则有 内有界.
【答案】（1）（2）（3）（4）（5）
（6）
8． 设S 为非空数集. 试对下列概念给出定义:
（1）S 无上界; （2）S 无界.
【答案】（1
）设S 为非空数集, 若对任意的正数M , 总存在上界.
（2）设S 为非空数集
, 若对任意正数M , 总存在
9． 设
求:（1）（2）（3）【答案】
同理（1）将（2）（3）由于 10．求
之和.
【答案】用S n 表示级数的前n 项部分和, 则
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使得则称数集S 无
使得则称数集S 无界.
代入可得
, 所以
.