2018年首都经济贸易大学统计学院914概率论之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 设
证明: （1）（2）
【答案】（1）由下界，
需要费希尔信息量，大家知道，正态分布
的密度函数p （x ）的对数是
由此得
的费希尔信息量
从而
的无偏估计的C-R 下界为
无偏估计的方差相等，故此
是
，
的有效估计.
是
的有效估计；
是的无偏估计，但不是有效估计. 知
. 为了获得
的元偏估计的C-R
是来自正态总体
的一个样本，若均值已知，
此下界与上述（2）由于
可见，
，即是的无偏估计，其方差为
为了获得的无偏估计的C-R 下界，需要知道的费希尔信息量，由于
从而的元偏估计的C-R 下界为由于无偏估计的方差此处，
，
，故不是的有效估计.
的无偏估计的C-R 下界与的方差的比为
，
该比值常称为无偏估计的效.
2． 设连续随机变量X 的分布函数为F （x ），且数学期望存在，证明:
【答案】
将第一个积分改写为二次积分，然后改变积分次序，得
第二个积分亦可改写为二次积分，然后改变积分次序，可得
这两个积分之和恰好是所要求证明的等式. 3．
设计.
【答案】由于
这就证明了
4． 设
（1）
各以
是的相合估计. 的概率取值
且假定
与相互独立. 令
证明:
独立同分布
,
证明
:
是的相合估
（2）X 与既不相关也不独立. 【答案】（1）由全概率公式可得
所以（2）因为
且X 与Y 相互独立，所以
所以X 与Z 不相关. 为证明X 与Z 是不独立的，我们考查如下特定事件的概率，且对其使用全概率公式
考虑到而
所以
存在，试证明:
故有
即X 与Z 不独立.
5． 设X 为非负连续随机变量，若
（2）
【答案】（1）因为X 为非负连续随机变量，所以当x<0时，有F （x ）=0.公式得
（2）因为X 为非负连续随机变量，所以X 也是非负连续随机变量，因此利用（1）可得
令
，则
6． 设随机变量变量.
【答案】
令
两边取对数，并将
展开为级数形式，可得
则由X 的特征函
数
可
得
证明:当
时，随机变量
按分布收敛于标准正态
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