2018年天津科技大学食品工程与生物技术学院314数学(农)之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 有一位市场调查员，他感兴趣的是该地区成年人中将购买某种产品的比率 （即该商品的市场占有率）. 现他要事先确定需要访问多少顾客（样本量n=?）才能使知道
结果又是如何？
是来自二点分布
的一个样本，就是样本中购买
是的置信水平
为0.95的置信区间？其中是样本中购买此种商品的顾客的比例，d 是事先给定的常数. 假如事先
【答案】对第一个问题，设
此种商品的顾客的比例，由中心极限定理知，当n 较大时，
在未知时，有
，从而
即
这说明
要求该置信区间的长度不超过2d ， 即得
若
对第二个问题，当已知由于
在
当
时可分别算得
（或己知
是增函数，所以
.
，处理方法完全一样）时，，从而
这说明
间.
类似地，要求该置信区间的长度不超过2d , 即得到譬如，若已知
（即
），则
，仍取
. ，
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是的置信水平的置信区间.
样本量随d 的增加（精度减少）迅速降低.
是
的置信水平
.
，
的置信区
于是关于样本量的要求化为当
时分别算得
与完全未知情况相比样本量约减少.
，
由此可见，若对事先有若干信息可利用，得知市场占有率不会超过那么就应利用这个信息，减少样本量，也即减少调查费用.
2． 某厂的一批电子产品，其寿命T 服从指数分布，其密度函数为:
从以往生产情况知平均寿命小时，为检验当日生产是否稳定，任取10个产品进行寿命试验，
到全部失效时试验停止，试验得失效寿命数据之和为30200, 试在显著水平
下检验假设
【答案】 0.05水平下的该检验的拒绝域为:
，
直接计算可得
因为30.2并不在拒绝域中，所以，不能拒绝原假设.
3． 设回归模型为
’现收集了15组数据，经计算有
后经核对，发现有一组数据记录错误，正确数据为（1.2, 32.6）, 记录为（1.5, 32.3）. （1）求（3）若
修正后的LSE ;
作修正，修正后的量分别记为
根据修正后的数据可计算得到
的LSE 为
（2）利用修正后的数据可计算三个平方和为
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（2）对回归方程作显著性检验
, 给出对应响应变量的0.95预测区间.
则
【答案】 （1）由于有一组数据记录错误，应将
因而检验统计量查表知
拒绝域为
，若取显著性水平，由于检验统计量落入拒绝域，
这是一个非常小的概率，说明回归方程显著性很高. （3）对于而
其对应相应变量的预测值为
，查表知
.
因
此
响
应
变
量
的
0.95
4． 设二维连续随机变量
的联合密度函数为
试求条件密度函数【答案】因为当
时，
所以当
时，
这是均匀分布
其中
可见，这里的条件分布实质上是一族均匀分布.
5． 设随机变量X 与Y 独立同分布，试在以下情况下求
（1）X 与Y 都服从参数为p 的几何分布； （2）X 与Y 都服从参数为
的二项分布.
服从负二项分
布
由此得，当
时，
（2）因为
所以
所
以
【答案】（1）因
为
预
测
区
间
为
因此回归方程是显著的. 此处，回归方程显著性检验的p 值为
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