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一、证明题

1． 证明下列数列极限存在并求其值:

（1）设（2）设（3）时成立,

则再证设解得

或递增,

在等式

因为

由数学归纳法知

. 因此两边取极限得, 由保不等式性可知

&

有上界2.

单调递增. 根据单调有界定理, 极限

即

存在.

有上界2. 当

时,

显然成立, 假设

【答案】（1）先用数学归纳法证数列

（2）首先证明数列是单调的

.

所以数列再证明数列要满足两个条件:

①可猜想数列

有上界是递増的.

是有上界的. 先猜想

②

即

, 当

, 再用数学归纳法来证明. 为此M （M 为某个正整数）

由于

时, 显然

的根为

因此,

假设n=k时成立, 则n=k+l时,

即因为

有上界. 由单调有界定理知, 数列

解得因此

所以

的极限存在. 设

其中

时,

由

由迫敛性得

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, 对

两边取极限得

（3）设M 是一个大于c 的正整数, 即M>c, 则当

可知

因此

2． 设，证明:

【答案】

所以

3． 设

为递减正项数列. 证明:级数

与

与

同时收敛, 同时发散.

和

. 有

由此知, 若又因为

由此知, 若于是

4． 设

与

收敛, 则

有上界, 故

也收敛.

收敛, 则

有上界, 从而

, 有上界, 即

有上界, 因此

收敛.

【答案】设正项级数的部分和分别是.

同时收敛, 同时发散.

, 在原点的某邻域内连续, 且

, 而

证明:

【答案】因为

所以

二、解答题

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5． （1）讨论函数

（2

）求函数【答案】

（

1

）显然

在

,

在（0, 0）处的可微性. 下的最大值与最小值.

所以f （x , y ）在（0, 0

）处不可微. （2）方法一作Lagrange

函数4

即

解得

再由由于值为﹣3.

方法二利用Cauchy-Schwarz 不等式

等号成立当且仅当即得

6． 设

（1）求f 的傅里叶级数展开式; （2）讨论f 的傅里叶级数在【答案】（1）由于f 在

上是否收敛于f , 是否一致收敛于f? 上为奇函数, 故

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得所以

或者

在

则驻点为

下的最大值为3, 最小

，即，

在

下的最大值为3, 最小值为﹣3.