2017年大连工业大学轻工与化学工程学院601数学(自命题)考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 设向量的方向余弦分别满足（1）与坐标轴或坐标面的关系如何?
【答案】（1）由（2）由（3）由直于xOy 面.
2． 问函数
【答案】函数在[1, 4]上可导, 令
, 得驻点
（舍去）,
, 比较
和平面z=0, │x │=a, │y │=a
处取得最大值, 且最大值为
，知α=
，故向量与x 轴垂直，平行于yOz 面.
，故向量垂直于x 轴和y 轴，即与z 轴平行，垂
知β=0，故向量与y 轴同向，垂直于xOz 面.
，知α=β=
；（2）
；（3）
，问这些向量
在何处取得最大值? 并求出它的最大值。
得函数在
3． 一均匀物体（密度为常量）占有的闭区域由曲面所围成。
（1）求物体的体积; （2）求物体的质心;
（3）求物体关于z 轴的转动惯量.
【答案】（l ）如图所示，由的对称性可知
图
（2）由对称性可知，质心位于z 轴上，故
。
（3）
4． 求函数数。
【答案】按题意，方向又
在点
处沿从点
到点
的方向的方向函
故
5． 形状为椭球在探测器的点
处的温度
【答案】作拉格朗日函数
令
的空间探测器进入地球大气层，其表面开始受热，l 小时后
，求探测器表面最热的点.
由式9-7得若
或
。
。再将
代入约束条件
得若
。于是得到两个可能的极值点：，由式（9-8）（9-9）（9-10）解得
；
于是得到另外三个可能
极值点为
比较T 在上述五个可能极值点处的数值知：热的点为
6． 求曲线y=sinx往具有下列横坐标的谷点处切线的斜率:
【答案】由导数的几何意义知
3
7． 一物体按规律x=ct作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由x=0移到x=a时，克服介质阻力所作的功。
【答案】速度为设当t=T时，x=a，得
8．
设
是
，阻力为，故上从
取得最大值。
【答案】设与则
所围区域为D ，如图所示，在D 上应用格林公式，记
到
，由此得到
。
的一段曲线，求a 的值，
使曲线积分
。
。
。
为最大，故探测器表面最
。
，代入式（9-8），得（9-9）