当前位置：问答库＞考研试题

一、分析计算题

1． 设

都是n 阶方阵. 定义：

证明：①若A ，B 都是半正定的，则A 。B 也是半正定的； ②若A ，B 都是正定的，则A 。B 也是正定的. 【答案】①因为

是半正定的，故存在实方阵

即有

再由于A ，B 皆为实对称的，故A 。B 亦然，且

其中

故由（6）得

则

但因为B 正定，P 是可逆的，故得

有一个

使

即A 、B 是正定的.

2． 设

求如下行列式

.

【答案】易知

与

矛盾. 于是由（6）知，由A 正定，至少

即A 。B 是半正定矩阵.

必至少有一

个

因为若所

有

②若A ，B 都是正定的，则对任意实向

量

使

因为A 是半正定的，故对任意实向量X 皆有

3． 设二次型

其中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12. （1）求a ，b 的值；

（2）利用正交变换将二次型，化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 【答案】解法1 （1）二次型f 的矩阵为

设A 的特征值为

由题设，有

解之得a=l，b=2

（2）由矩阵A 的特征多项式

得A 的特征值对于对于由于

解齐次线性方程组（2E-A ）X=0，得其基础解系

解齐次线性方程组（-3E-A ）X=0，得基础解系

已是正交向量组，因此将单位化，可得

令矩阵

则Q 为正交矩阵. 进而，在正交变换X=QY下，有

且二次型的标准形为

解法2 （1）二次型f 的矩阵为

则A 的特征多项式为

设A 的特征值为由题设得

解之，可得a=l，b=2.

（2）由（1）可得A 的特征值为

以下解法同解法1.

4． 设为AB 和BA 的非零特征值，证明：AB 的属于的特征子空间空间

的维数相同.

是

的基，贝!J ,

和

线性无关，则线性无关，则

雒欧氏空间的两个线性变换

都有【答案】由题设

任给

令

则

和BA 的属于的特征子故

【答案】设下面证明设则于是由由 5．

设

于是

线性无关.

故类似可证在

的基

线性无关.

故

下的矩阵分别是A 和B ，证明

：

则存在正定矩阵P ，使