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一、分析计算题

1． 化下列

矩阵成标准形：

【答案】（1）因为

所以标准形为：

（2）作初等变换

（3）初等因子：标准形：

（4）初等因子：标准形：

（5）标准形为：

（6）标准形为：

2． 计算n 阶行列式

其中

【答案】按第1行展开得

由①式得

3． 证明：每一个n 维线性空间都可以表示成n 个一维子空间的直和.

【

答

案

】

取

此

空

间

V

的故

的直和.

4． 设

证明：

一组

基又

显

然维

是n 个一维子空间

且无有理根.

使

【答案】若约因式相乘：

现在令

即f （x ）在Q 上可约.

反之，设f （x ）在Q 上可约，因f （x ）无有理根，则f （x ）必可分解为Q 上两个二次不可

即得

5． 设

【答案】（1）因为

即n=3时结论成立. 设n=k时命题成立. 当n=k+l时，

所以

（2）由（1）知

以上各式相加得

6． 在欧氏空间

【答案】先对

证明：

由哈密尔顿-凯莱定理知

（内积按通常定义）中，从基

正交化：取

且

出

发，求一个标准正交基.

再标准化，即得标准正交基为