2017年海南师范大学小学数学课程与教学论之高等代数考研复试核心题库
● 摘要
一、分析计算题
1． 设半正定二次型子空间.
【答案】证法1:由题设，可逆矩阵P , 使
令
分别取
取则
令
有
又若
令
则
即
的前r 个分量全为0.
的秩为r , 则
旳实数解是
的一个n —r 维
的全体X 构成. 显然，其维数为
综上可知，集合证法2:因为A 半正定， 所以有实矩阵C 使因为
为满足
（这里r （A ）=r（C ）=r）.
即故
与CX=0同解. 的实数解构成
的一个n —r 维子空间.
而r （A ）=r（C ）=r, 所以线性方程组CX=0的解空间维数为n-r.
2． 设向量组
试问：当（1）（2）（3）口可由【答案】⑴
线性表出，但表示法不惟一? 并求出一般表达式.
（2）
则线性方程组①的增广矩阵为
（3）
由②知方程组①与下面方程组同解
其中为任意常数.
3． 证明：在三维线性空间V 中，非零反对称双线性函
数
其中
【答案】
由
在此基下的度量矩阵为
总有
令
则结论成立.
是V 的一个基，用％表示由
：
为线性函数.
故
于是V
中存在一个基
非零反对称双线性函数
，
可以表示为
方程组①有无穷多解，此时β的表示法不惟一.
满足什么条件时，
4． 设V 是数域K 上一个n 维线性空间，生成的线性子空间，令
（1）证明:（2）证明:
是V 的子空间；
下的矩阵A 是置换阵（即A 的每一行与每与
都是A 的不变子空间.
（3）设V 上一个线性变换A 在基
一列都只有一个元素是1，其余元素全为0）. 证明：
【答案】（1）显然又
有
（因为
（因为所以以
dim
（3）
因为是
A 是置换阵，则
的一个排列），所以
也是
子空间.
是V 的子空间.
又显然有
即
是直和，
且
所
（2
）因为
此说明又
子空间.
5． 设A ，B 均为n 阶方阵，A+B=AB，证明：r （A ）=r（B ）.
【答案】由A+B=AB，得
故
6． 设
类似可得，
分别是齐次线性方程组
的解空间. 证明：数域K 上n 元行空间【答案】证法I 对于
由于
显然是
即
的n-l 维子空间，且有基
故r （A ）=r（B ）.