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一、分析计算题

1． 设A 为n 阶方阵

（1）试证：（3）试证：

（4）如A 的秩为n , 试解（5）如A 为非奇异，试解:（6）如A 为非奇异，试解:【答案】（1）设

则

E 为n 阶单位矩阵

，

的秩也为n ；

为A 的伴随矩阵，

为A 的行列式.

（2）如A 为非奇异，

试证

由于因此

（2）仿（1）还可证. 由定义得

（3）设

再设

那么

为行列

中划去第j 行和第i 列的代数余子式

由此即证（4）若秩

即秩（5）因为

由上面②式两边取逆可得

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所以

（n-1阶行列式），其中每行提出公因子a 后，可得

那么由上面①式有

所以

另一方面②式中，用

（

由③，④即证（6）可以证明对一切事实上，由于因此（i ）当秩A=n时在⑥式中用A 换A*得

换A 得

（不一定A 非奇异）都有

可逆，用

左乘①式两边可得

（ii ）当秩时，则秩从而秩. 放

综合⑦，⑧两式，即证⑤成立.

2． 证明：对任一三角阵.

另一种方法是直接证明：取n 维线性空间V 的一组基使

在该基下的矩阵为A. 由于是复数域，补充

使

特征向量

及

为V 的一组基，设

作V

上的一个线性变换

及属于的一个

必有复特征值，取一个特征值

复系数矩阵A ，存在可逆矩阵T ，使

是上三角矩阵.

【答案】一种方法，它相似于若尔当形，即相似于一个下三角阵. 把基的次序换一下就可得上

则有

对A 的级数n 作归纳法. n=l, 结论显然成立.

又设n-1时结论成立，即对（n-1）级方阵B

有可逆阵

使

为上三角阵. 则

由于

已是上三角阵，故上式右端成为上三角阵. 令

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则左端=

3． 设

这就证明了

是上三角矩阵.

其中求的伴随矩阵的若当标准形.

【答案】当c=0时，

显见

且

的特征值均为0, 所以

的若当标准形为

当时

所以

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