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一、证明题

1． 设函数f （x ）在闭区间[0, 1]上连续, 在开区间（0, 1）内可微, 且f （0）=f（1）=0，证明:

（1）存在（2）存在【答案】（1）令

, 使得使得

, 则

∵函数∴函数

在闭区间在闭区间

上连续, 上连续.

使得

（2）令

显然

在闭区间

上连续, 在开区间

且由（1）的结论知, 存在根据罗尔中值定理, 存在

使得使得

由于

所以有

2． 证明:连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数; 连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数.

【答案】设f （x ）是连续的奇函数, 则所以F （x ）是偶函数.

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,

.

由连续函数的零点存在定理知, 存在即存在使得

内可微. 由于

是f （x ）的所有原函数, 而

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若f （x ）是连续的偶函数, 则是f （x ）的一个原函数, 则

所以F （x ）是奇函数. 奇函数要求过原点, 因此, 连续的偶函数的原函数中只有过原点的那一个是奇函数.

3． 设f x , f y 在（0, 0）点附近存在,

且在（0

, 0

）点可微, 证明:

, 【答案】因为f x , f y 在（

0, 0）点可微, 所以两个混合偏导数相等

. 由于

因此

其中

.

注意到

f x 在（0, 0）点可微, 我们有

和

其中

是（

）→（0, 0）时的无穷小量,

是

时的无穷小量.

令 4． 设

【答案】记

. 已知

证明级数

又

所以

为单调递减数列, 故由莱布尼茨判别法可知原级数收敛.

5． 用有限覆盖定理证明聚点定理.

【答案】设有界无限点集中每一点均不是S 的聚点, 则

. 显然若S 有聚点, 则必含于

, 使得

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, . , 都存在

. 下证:

将式（2）、式（3）两式代入式（1）可得

, 则, 故有. .

是收敛的.

中. 假设

为有限点集. 记

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, 则H 为

有限个邻域

由于

为有限点集

, 使得

的一个开覆盖, 由有限覆盖定理知, 存在H 中

所以由上式知S 为有限点集, 与假设矛盾. 故S

在[-M, M]中至少有一个聚点. 6． 设f 为内的递增函数. 证明:若存在数列有

【答案】先证由

从而此时有设时, 于是f （x ）在

, 则.

取

, 由

在知, 对于

.

得

内有界. , 存在使得当

时,

且, 使得则

,

. 由极限保号性知, 存在N 2

使得当则当

时, ,

存在

,

使得

由f （x ）的递增性知, 此时有

内有上界.

由确界原理知, f （x ）有上确界.

令

, 于是, 当

故

7． （1）证明:若

（2）若时,

取故

则当

存在, 则存在, 试问是否成立

时,

,

则对任给的

. 由归结原则得于是B=A, 即

.

【答案】（1）

设

时, 有

则对任给

的

于是,

存

在使得

当即

（2）不一定成立. 例如, 取

则

这时

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存在, 但不存在.