2018年福建师范大学数学与计算机科学学院839数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、计算题
1． 设用某仪器进行测量时, 读得n 次实验数据为值, 才能使它与这n 个数之差的平方和为最小.
【答案】x 与这n 个数之差的平方和为由又因
2． 导出曲边梯形.
【答案】区间
绕y
轴旋转所得立体的体积公式为
所对应的柱壳体积
由微元法可知所求体积为
3． 求曲线
,
所围平面图形（图）绕x 轴旋转所得立体的体积
.
得
, 故
,
为最小值点, 因此x 为
的算术平均值时,
, 于是
,
问以怎样的数值x 表达所要测量的真
它与这n 个数之差的平方和为最小.
图
【答案】
4
．
将函数
【答案】
在
在
上展开成傅立叶级数，
并求级数
上是偶函数，有
的和.
于是
，取
5．
试确定函数项级数
【答案】由于
所以当
时级数绝对收敛, 当
时级数发散, 当
时,
因为
因而级数发散,
于是级数的收敛域为（-1, 1）. 设
, 当
, 求证f （x ）在（-1, 1）内连续. 时有
由根式判别法知
收敛, 所以
在
f x ）上一致收敛, 从而（在[-S, S]
内非一致收敛.
, 则
即
在（-1, 1）内不一致收敛于0, 所以函数项级数
，得
，解得
.
的收敛域, 并讨论该级数的一致收敛性及其和函数的连续性.
上连续,
由的任意性知f （x ）在（-1, 1）内连续.
事实上, 设
, 取
在（-1, 1）内非一致收敛.
二、证明题
6． 设于
【答案】显然, 由题设知即
所以对一切n 都有
的一个下界
.
即在. 设
即对
又由
两边取极限得
所以
递增. 由
在
知,
是
的一个上界. 由单调有界定理知, 的两边同时取极限, 得到
得
.
的极限都存
于是, 当
递减, 并且0是
时,
记
证明:数列
的极限都存在且等
7． 设f （z ）是在
（1）明：级数
【答案】
（2
）
内的可微函数，且满足：
其中0 证 绝对收敛. 即这里 8． 证明对任意常数 球面 由比值判别法知 与锥面 是正交的 绝对收敛. 【答案】设（x , y , z ）是球面与锥面交线上的任一点, 则球面在该点的法向量为 锥面在该点的法向量为 因为 9． 故对任意常数 在[a, b]上有定义且在每一点有极限, 证明:【答案】反证法. 若 依次取 则得到数列 球面与锥面正交. 在 上有界. 使得 在[a, b]上无上界, 则对任意正整数n , 存在