2018年清华大学数学科学系432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1．
设
为一事件域，若
，故其对立事件
.
试证: （1）（2）有限并（3）有限交（4）可列交（5）差运算
（2）构造一个事件序列由此得（3）因为（4）因为（5）因为.
. 所以，所以，所以
，由，由
，由（3）（有限交）得，
.
【答案】（1）因为为一事件域，所以
，其中
2． 设随机变量独立同分布，且
试用特征函数的方法证明:
【答案】因
为
这正是伽玛分布
3． 设随机变量与
（1）（2）
【答案】（1）设所以当
时，
和
则
所以由
诸的相互独立性
得的特征函数
为
的特征函数，由唯一性定理知相互独立，且都服从
上的均匀分布，试证明:
是相互独立的标准正态随机变量.
的密度函数为
即所以当即（2）因为所以
又设时，
则
的密度函数为
所以由此得
又因为
所以
的联合密度函数为
这说明X 和Y 是相互独立的标准正态随机变量.
4． 设随机变量
且X 与Y 相互独立，令
试证明: （1）（2）（3）【答案】（1）
（2）由（1）知，（3）由（2）知所以
5． 设
（1）
由此得
各以
的概率取值
且假定
与相互独立. 令
证明:
所以
因为X 与Y 相互独立，
（2）X 与既不相关也不独立. 【答案】（1）由全概率公式可得
所以（2）因为
且X 与Y 相互独立，所以
所以X 与Z 不相关. 为证明X 与Z 是不独立的，我们考查如下特定事件的概率，且对其使用全概率公式
考虑到而
6． 总体
（1）证明
所以，其中
是未知参数，又故有
即X 与Z 不独立.
为取自该总体的样本，
为样本均值.
是参数的无偏估计和相合估计；
，则
，从而
（2）求的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相合估计吗？ 【答案】（1）总体
于是，，这说明是参数的无偏估计. 进一步，
这就证明了也是的相合估计.
，显然
是的减函数，
（2）似然函数为且的取值范围为
’因而的最大似然估计为
下求的均值与方差，由于的密度函数为
故
从而
这说明
不是
的无偏估计，而是的渐近无偏估计. 又
因而
是
的相合估计.
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